Álgebra Ejemplos

$2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$

Paso 1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \log (m - 1) + \log (2) - \log (2 m^{2} - 1) = 0$

Paso 2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $2 \log (m - 1) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1})$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica $2 \log (m - 1)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\log ({(m - 1)}^{2}) + \log (\frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Paso 3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(m - 1)}^{2} \frac{2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Paso 3.1.3

Combina ${(m - 1)}^{2}$ y $\frac{2}{2 m^{2} - 1}$ .

$\log (\frac{{(m - 1)}^{2} \cdot 2}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Paso 3.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(m - 1)}^{2}$ .

$\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$

Paso 4

Reescribe $\log (\frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{2 {(m - 1)}^{2}}{2 m^{2} - 1}$

Paso 5

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 {(m - 1)}^{2} = 10^{0} (2 m^{2} - 1)$

Paso 6

Simplifica $10^{0} (2 m^{2} - 1)$ .

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Paso 6.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 1 (2 m^{2} - 1)$

Paso 6.2

Multiplica $2 m^{2} - 1$ por $1$ .

$2 {(m - 1)}^{2} = 2 m^{2} - 1$

Paso 7

Mueve todos los términos que contengan $m$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $2 m^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 {(m - 1)}^{2} - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

Reescribe ${(m - 1)}^{2}$ como $(m - 1) (m - 1)$ .

$2 ((m - 1) (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.2

Expande $(m - 1) (m - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (m (m - 1) - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 (m - 1)) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (m \cdot m + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Multiplica $m$ por $m$ .

$2 (m^{2} + m \cdot - 1 - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $m$ .

$2 (m^{2} - 1 \cdot m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3.1.3

Reescribe $- 1 m$ como $- m$ .

$2 (m^{2} - m - 1 m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3.1.4

Reescribe $- 1 m$ como $- m$ .

$2 (m^{2} - m - m - 1 \cdot - 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (m^{2} - m - m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.3.2

Resta $m$ de $- m$ .

$2 (m^{2} - 2 m + 1) - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$2 m^{2} + 2 (- 2 m) + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.5

Simplifica.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 \cdot 1 - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2} = - 1$

Paso 7.3

Combina los términos opuestos en $2 m^{2} - 4 m + 2 - 2 m^{2}$ .

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Paso 7.3.1

Resta $2 m^{2}$ de $2 m^{2}$ .

$- 4 m + 2 + 0 = - 1$

Paso 7.3.2

Suma $- 4 m + 2$ y $0$ .

$- 4 m + 2 = - 1$

Paso 8

Factoriza $2$ de $- 4 m + 2$ .

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Paso 8.1

Factoriza $2$ de $- 4 m$ .

$2 (- 2 m) + 2 = - 1$

Paso 8.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (- 2 m) + 2 (1) = - 1$

Paso 8.3

Factoriza $2$ de $2 (- 2 m) + 2 (1)$ .

$2 (- 2 m + 1) = - 1$

Paso 9

Divide cada término en $2 (- 2 m + 1) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $2 (- 2 m + 1) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- 2 m + 1)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.2.1.2

Divide $- 2 m + 1$ por $1$ .

$- 2 m + 1 = \frac{- 1}{2}$

Paso 9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 m + 1 = - \frac{1}{2}$

Paso 10

Mueve todos los términos que no contengan $m$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1$

Paso 10.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 10.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 2 m = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Paso 10.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 m = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Paso 10.5

Simplifica el numerador.

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Paso 10.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 m = \frac{- 1 - 2}{2}$

Paso 10.5.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$- 2 m = \frac{- 3}{2}$

Paso 10.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 m = - \frac{3}{2}$

Paso 11

Divide cada término en $- 2 m = - \frac{3}{2}$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 11.1

Divide cada término en $- 2 m = - \frac{3}{2}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Paso 11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 m}{- 2} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Paso 11.2.1.2

Divide $m$ por $1$ .

$m = \frac{- \frac{3}{2}}{- 2}$

Paso 11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Paso 11.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$m = - \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 11.3.3

Multiplica $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 11.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$m = 1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{2}$

Paso 11.3.3.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$m = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 11.3.3.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{3}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$m = \frac{3}{4}$

Paso 12

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \log (m - 1) + \log (2) = \log (2 m^{2} - 1)$ sea verdadera.

$No hay solución$