Álgebra Ejemplos

$x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$ .

$| x - 1 | = x^{2} - 3 x - 2$

Paso 2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm (x^{2} - 3 x - 2)$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 1 = x^{2} - 3 x - 2$

Paso 3.2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 2 = x - 1$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x - 2 - x = - 1$

Paso 3.3.2

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 2 = - 1$

Paso 3.4

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 4 x - 2 + 1 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 4$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 3.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.3

Suma $16$ y $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.4

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 3.7.1.4.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Paso 3.9

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 1 = - (x^{2} - 3 x - 2)$

Paso 3.10

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Paso 3.11

Simplifica $- (x^{2} - 3 x - 2)$ .

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Paso 3.11.1

Reescribe.

$0 + 0 - (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Paso 3.11.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (x^{2} - 3 x - 2) = x - 1$

Paso 3.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} - (- 3 x) - - 2 = x - 1$

Paso 3.11.4

Simplifica.

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Paso 3.11.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 3 x - - 2 = x - 1$

Paso 3.11.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- x^{2} + 3 x + 2 = x - 1$

Paso 3.12

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.12.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 3 x + 2 - x = - 1$

Paso 3.12.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 2 = - 1$

Paso 3.13

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} + 2 x + 2 + 1 = 0$

Paso 3.14

Suma $2$ y $1$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Paso 3.15

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.15.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} + 2 x + 3$ .

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Paso 3.15.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Paso 3.15.1.2

Factoriza $- 1$ de $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Paso 3.15.1.3

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.15.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Paso 3.15.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Paso 3.15.2

Factoriza.

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Paso 3.15.2.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 3.15.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 3, 1$

Paso 3.15.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Paso 3.15.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Paso 3.16

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 3.17

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.17.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.17.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.18

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.18.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.18.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.19

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 1$

Paso 3.20

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}, 3, - 1$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $x^{2} - 3 x - 2 = | x - 1 |$ sea verdadera.

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 2 + \sqrt{5}, - 1$

Forma decimal:

$x = 4.23606797 \dots, - 1$