Álgebra Ejemplos

$3 \sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Paso 1

Reemplaza $3 \sec^{2} (x)$ con $3 (1 + \tan^{2} (x))$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$3 (1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + 3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 4 = 0$

Paso 3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.1

Resta $4$ de $3$ .

$3 \tan^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $2 \tan^{2} (x)$ de $3 \tan^{2} (x)$ .

$\tan^{2} (x) - 1 = 0$

Paso 4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\tan^{2} (x) = 1$

Paso 5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\tan (x) = \pm \sqrt{1}$

Paso 6

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\tan (x) = \pm 1$

Paso 7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\tan (x) = 1$

Paso 7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\tan (x) = - 1$

Paso 7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\tan (x) = 1, - 1$

Paso 8

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = - 1$

Paso 9

Resuelve $x$ en $\tan (x) = 1$ .

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Paso 9.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 9.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 9.3

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 9.4

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 9.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2

Combina fracciones.

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Paso 9.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 9.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 9.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 9.4.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 9.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 9.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 9.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 9.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 9.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9.6

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 10

Resuelve $x$ en $\tan (x) = - 1$ .

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Paso 10.1

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 10.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 10.3

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 10.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 10.4.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 10.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.5

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 10.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 10.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 10.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 10.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 10.6

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 10.6.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 10.6.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.6.3

Combina fracciones.

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Paso 10.6.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 10.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 10.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 10.6.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 10.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 10.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 10.7

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para cualquier número entero $n$