Álgebra Ejemplos

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{16 - x^{2}}{9 x}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{4^{2} - x^{2}}{9 x}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4$ y $b = x$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{- 6}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x - 8} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 2}{(x - 4) (x + 2)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 5

Multiplica $- \frac{6}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x - 4}$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x - 4}$ por $\frac{6}{(x + 4) (x - 4)}$ .

$- \frac{6}{(x - 4) ((x + 4) (x - 4))} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 5.2

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} (x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 5.3

Eleva $x - 4$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{1 + 1} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 5.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ al numerador.

$\frac{- 6}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 6.1.2

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{9 x}$

Paso 6.1.3

Factoriza $3$ de $9 x$ .

$\frac{3 (- 2)}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Paso 6.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 (3 x)}$

Paso 6.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)} \cdot \frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$

Paso 6.2

Multiplica $\frac{- 2}{{(x - 4)}^{2} (x + 4)}$ por $\frac{(4 + x) (4 - x)}{3 x}$ .

$\frac{- 2 ((4 + x) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $4 + x$ y $x + 4$ .

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Paso 6.3.1

Reordena los términos.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Paso 6.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 ((x + 4) (4 - x))}{{(x - 4)}^{2} (x + 4) (3 x)}$

Paso 6.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 (4 - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $4 - x$ y ${(x - 4)}^{2}$ .

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Paso 6.4.1

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - x)}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Paso 6.4.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4) - (x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Paso 6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 4) - (x)$ .

$\frac{- 2 (- 1 (- 4 + x))}{{(x - 4)}^{2} (3 x)}$

Paso 6.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- 2 (- 1 (x - 4))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Paso 6.4.5

Factoriza $x - 4$ de $- 2 (- 1 (x - 4))$ .

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 x}$

Paso 6.4.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.6.1

Factoriza $x - 4$ de ${(x - 4)}^{2} \cdot 3 x$ .

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Paso 6.4.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (- 2 \cdot (- 1))}{(x - 4) ((x - 4) \cdot 3 x)}$

Paso 6.4.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 2 \cdot (- 1)}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Paso 7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2}{(x - 4) \cdot 3 x}$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 4$ .

$\frac{2}{3 \cdot (x - 4) x}$

Paso 8.2

Reordena los factores en $\frac{2}{3 (x - 4) x}$ .

$\frac{2}{3 x (x - 4)}$