Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \div \frac{x + \frac{1}{1 + x}}{x + \frac{x}{1 + x}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x + 1$ y $b = x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(x + 1 + x) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (x + 1 - x)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 2.2.2

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) (0 + 1)} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 2.2.3

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{(2 x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 3

Multiplica $2 x + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$

Paso 4

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $1 + x$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}}$ por $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} (\frac{1 + x}{1 + x} \cdot \frac{x + \frac{x}{1 + x}}{x + \frac{1}{1 + x}})$

Paso 4.2

Combinar.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) (x + \frac{x}{1 + x})}{(1 + x) (x + \frac{1}{1 + x})}$

Paso 5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Paso 6

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 6.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + (1 + x) \frac{x}{1 + x}}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Paso 6.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + (1 + x) \frac{1}{1 + x}}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{(1 + x) x + x}{(1 + x) x + 1}$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Factoriza $x$ de $(1 + x) x + x$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $x$ de $(1 + x) x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x}{(1 + x) x + 1}$

Paso 7.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x^{1}}{(1 + x) x + 1}$

Paso 7.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x) + x \cdot 1}{(1 + x) x + 1}$

Paso 7.1.4

Factoriza $x$ de $x (1 + x) + x \cdot 1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (1 + x + 1)}{(1 + x) x + 1}$

Paso 7.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{(1 + x) x + 1}$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{1 x + x \cdot x + 1}$

Paso 8.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x \cdot x + 1}$

Paso 8.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x + x^{2} + 1}$

Paso 8.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} + x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{x (x + 2)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 x + 1} (x (x + 2))$

Paso 9.2

Combina $x$ y $\frac{1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x}{2 x + 1} (x + 2)$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{x}{2 x + 1}$ por $x + 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{2 x + 1}$