Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{x + 5} = x - 1$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 5)}^{1} = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x + 5 = {(x - 1)}^{3}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x - 1)}^{3}$ .

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Paso 2.3.1.1

Usa el teorema del binomio.

$x + 5 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.3.1.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.3.1.2.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3}$

Paso 2.3.1.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x + 5 = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 = x + 5$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1 - x = 5$

Paso 3.2.2

Resta $x$ de $3 x$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 = 5$

Paso 3.3

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1 - 5 = 0$

Paso 3.4

Resta $5$ de $- 1$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$

Paso 3.5

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.5.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.5.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} - 3 x^{2}) + 2 x - 6 = 0$

Paso 3.5.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x - 3) + 2 (x - 3) = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 3.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 3.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3.8

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 3.8.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.8.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 3.8.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 3.8.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 3.8.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 3.8.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 3.8.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 3.8.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.8.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 3.8.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 3.8.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = 3, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$