Álgebra Ejemplos

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

Paso 1

Resta $f (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Paso 2

Obtén la pendiente y la intersección con y para la línea de límite.

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

Paso 2.1.3

Mueve todos los términos que no contengan $- \sqrt{x + 2}$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 2.1.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

Paso 2.1.3.2

Suma $f (x)$ a ambos lados de la desigualdad.

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

Paso 2.1.4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.5.2.1

Simplifica ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.3

Multiplica ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.4

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.5.2.1.4.2.1

Cancela el factor común.

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.4.2.2

Reescribe la expresión.

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.2.1.5

Simplifica.

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

Paso 2.1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.5.3.1

Simplifica ${(4 + f (x))}^{2}$ .

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Paso 2.1.5.3.1.1

Reescribe ${(4 + f (x))}^{2}$ como $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ .

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

Paso 2.1.5.3.1.2

Expande $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.5.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

Paso 2.1.5.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

Paso 2.1.5.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Paso 2.1.5.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.5.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.5.3.1.3.1.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

Paso 2.1.5.3.1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

Paso 2.1.5.3.1.3.1.3

Multiplica $f (x) f (x)$ .

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Paso 2.1.5.3.1.3.1.3.1

Eleva $f (x)$ a la potencia de $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

Paso 2.1.5.3.1.3.1.3.2

Eleva $f (x)$ a la potencia de $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

Paso 2.1.5.3.1.3.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.1.5.3.1.3.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

Paso 2.1.5.3.1.3.2

Suma $4 f (x)$ y $4 f (x)$ .

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

Paso 2.1.6

Resuelve $x$

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Paso 2.1.6.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

Paso 2.1.6.2

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

Paso 2.1.6.3

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 2.1.6.3.1

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

Paso 2.1.6.3.2

Resta $2$ de $16$ .

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

Paso 2.1.6.4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

Paso 2.1.6.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.1.6.6

Sustituye los valores $a = f$ , $b = 8 f - 1$ y $c = 14$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.4

Reescribe ${(8 f - 1)}^{2}$ como $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.5

Expande $(8 f - 1) (8 f - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.6.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.6.7.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.7.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.2

Multiplica $f$ por $f$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.7.6.1.2.1

Mueve $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.2.2

Multiplica $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.6.2

Resta $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.7

Multiplica $14$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Paso 2.1.6.7.8

Resta $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.1.6.8.1

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.2

Factoriza $- 1$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.4

Factoriza $- 1$ de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.6

Factoriza $- 1$ de $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.7

Reescribe $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ como $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.8.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.1.6.9.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.9.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.2

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.4

Reescribe ${(8 f - 1)}^{2}$ como $(8 f - 1) (8 f - 1)$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.5

Expande $(8 f - 1) (8 f - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.6.9.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.6.9.1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.6.9.1.6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.2

Multiplica $f$ por $f$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.6.9.1.6.1.2.1

Mueve $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.2.2

Multiplica $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.6.2

Resta $8 f$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.7

Multiplica $14$ por $- 4$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.1.8

Resta $56 f$ de $- 16 f$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.3

Factoriza $- 1$ de $- 8 f$ .

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.4

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.5

Factoriza $- 1$ de $- (8 f) - 1 (- 1)$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ .

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.7

Factoriza $- 1$ de $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.8

Reescribe $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ como $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ .

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

Paso 2.1.6.9.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.6.10

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.1.7

Reescribe en ecuación explícita.

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

Paso 2.2

La ecuación no es lineal, por lo que no existe pendiente constante.

No es lineal

Paso 3

Grafica una línea discontinua, luego sombrea el área debajo de la línea de límite, ya que $y$ es menor que $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ .

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

Paso 4