Álgebra Ejemplos

$\ln (\sqrt{\frac{4 x}{x - 4}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{4 x}{x - 4}}$ como ${(\frac{4 x}{x - 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(\frac{4 x}{x - 4})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Expande $\ln ({(\frac{4 x}{x - 4})}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{4 x}{x - 4})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{4 x}{x - 4})$ como $\ln (4 x) - \ln (x - 4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (4 x) - \ln (x - 4))$

Paso 4

Reescribe $\ln (4 x)$ como $\ln (4) + \ln (x)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (4) + \ln (x) - \ln (x - 4))$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{2}) + \ln (x) - \ln (x - 4))$

Paso 5.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{1}{2} (2 \ln (2) + \ln (x) - \ln (x - 4))$

Paso 6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (2 \ln (2)) + \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (- \ln (x - 4))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} (2 (\ln (2))) + \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (- \ln (x - 4))$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (2 \ln (2)) + \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (- \ln (x - 4))$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$\ln (2) + \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (- \ln (x - 4))$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\ln (2) + \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (x - 4))$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x - 4)$ .

$\ln (2) + \frac{\ln (x)}{2} - \frac{\ln (x - 4)}{2}$

Paso 8

Para escribir $\ln (2)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (2) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (x - 4)}{2} + \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 9

Combina $\ln (2)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (2) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (x - 4)}{2} + \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (2) \cdot 2 - \ln (x - 4)}{2} + \frac{\ln (x)}{2}$

Paso 11

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$\frac{2 \ln (2) - \ln (x - 4)}{2} + \frac{\ln (x)}{2}$