Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ como una ecuación.

$y = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(3 y)}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- \frac{2}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 y)}^{- \frac{5}{2}})}^{- \frac{2}{5}}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} (- \frac{2}{5})} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

${(3 y)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.3

Factoriza $5$ de $- 5$ .

${(3 y)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.4

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2}{5}} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.2.5

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot - 2} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1))} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.3.2

Cancela el factor común.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.3.3

Reescribe la expresión.

${(3 y)}^{- - 1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$3 y = x^{- \frac{2}{5}}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$

Paso 3.4

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $3 y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}}{3}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 3.4.3.2

Combinar.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.3.3.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{2}{5}} \cdot 3}$

Paso 3.4.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{2}{5}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x)}^{- \frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 5}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 (- 1)}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{2}{5}}}$

Paso 5.2.3.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{\frac{- 1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 {(3 x)}^{- 1}}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 x})}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3 x}$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Paso 5.2.4.2

Reduce la expresión $\frac{3}{3 x}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{3}{3 x}}$

Paso 5.2.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.2.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = 1 x$

Paso 5.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} ({(3 x)}^{- \frac{5}{2}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(3 (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}))}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}})}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.4

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = {(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 5.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Paso 5.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}$

Paso 5.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.5.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.5.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Paso 5.3.5.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$ es la inversa de $f (x) = {(3 x)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{5}}}$