Álgebra Ejemplos

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $i$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2}) (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2}) + \frac{\sqrt{3} i}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2^{1}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común de $2$ y $16$ .

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Paso 3.1.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{16} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.4

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2} (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.4.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2} i}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.4.4

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.5

Multiplica $\frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{2 \cdot 3} i}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.5.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.5.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Paso 3.1.6

Multiplica $\frac{\sqrt{3} i}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

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Paso 3.1.6.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ por $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{3} i (\sqrt{3} i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i i}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i)}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.7

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} (i^{1} i^{1})}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.1.6.10

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.7.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.7.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.7.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3^{1} i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3 i^{2}}{4}$

Paso 3.1.7.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Paso 3.1.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{- 3}{4}$

Paso 3.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} - \frac{3}{4}$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{3}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 3 \cdot 2}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$\frac{1 - 6}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.5.2

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{- 5}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{8}$

Paso 3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 5}{8} + \frac{2 \sqrt{6} i}{8}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{8} + \frac{2 \sqrt{6} i}{8}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{6} i$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{2 (\sqrt{6} i)}{8}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$- \frac{5}{8} + \frac{2 (\sqrt{6} i)}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{5}{8} + \frac{2 (\sqrt{6} i)}{2 \cdot 4}$

Paso 4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{5}{8} + \frac{\sqrt{6} i}{4}$