Álgebra Ejemplos

$2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Paso 1

Reordena $3$ y $- x$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot 8)$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 (4)))$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4))$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) = \ln (4)$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $2 \ln (x) - \ln (- x + 3) - \ln (4)$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica $2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (- x + 3) - \ln (4) = 0$

Paso 4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3}) - \ln (4) = 0$

Paso 4.1.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{- x + 3}}{4}) = 0$

Paso 4.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{x^{2}}{- x + 3} \cdot \frac{1}{4}) = 0$

Paso 4.1.5

Multiplica $\frac{x^{2}}{- x + 3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{(- x + 3) \cdot 4}) = 0$

Paso 4.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $- x + 3$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$

Paso 5

Reescribe $\ln (\frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{4 (- x + 3)}$

Paso 6

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} = e^{0} (4 (- x + 3))$

Paso 7

Simplifica $e^{0} (4 (- x + 3))$ .

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Paso 7.1

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} = 1 (4 (- x + 3))$

Paso 7.1.2

Multiplica $4 (- x + 3)$ por $1$ .

$x^{2} = 4 (- x + 3)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = 4 (- x) + 4 \cdot 3$

Paso 7.3

Multiplica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x^{2} = - 4 x + 4 \cdot 3$

Paso 7.3.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{2} = - 4 x + 12$

Paso 8

Suma $4 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x = 12$

Paso 9

Factoriza $x$ de $x^{2} + 4 x$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 4 x = 12$

Paso 9.2

Factoriza $x$ de $4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Paso 9.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 4$ .

$x (x + 4) = 12$

Paso 10

Simplifica $x (x + 4)$ .

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Paso 10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 = 12$

Paso 10.2

Simplifica la expresión.

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Paso 10.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 = 12$

Paso 10.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 4 x = 12$

Paso 11

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 4 x - 12 = 0$

Paso 12

Factoriza $x^{2} + 4 x - 12$ con el método AC.

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Paso 12.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $4$ .

$- 2, 6$

Paso 12.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x + 6) = 0$

Paso 13

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 14

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 14.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 15

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 15.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 6$

Paso 17

Excluye las soluciones que no hagan que $2 \ln (x) - \ln (3 - x) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln (8)$ sea verdadera.

$x = 2$