Álgebra Ejemplos

$4 x^{4} - 14 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1

Factoriza $2$ de $4 x^{4} - 14 x^{2} + 12$ .

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Paso 1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{4}$ .

$2 (2 x^{4}) - 14 x^{2} + 12 = 0$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $- 14 x^{2}$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 7 x^{2}) + 12 = 0$

Paso 1.3

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 (2 x^{4}) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (6) = 0$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4}) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$2 (2 x^{4} - 7 x^{2}) + 2 (6) = 0$

Paso 1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{4} - 7 x^{2}) + 2 (6)$ .

$2 (2 x^{4} - 7 x^{2} + 6) = 0$

Paso 2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (2 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 6) = 0$

Paso 3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$2 (2 u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ y cuya suma es $b = - 7$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 u$ .

$2 (2 u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 7$ como $- 3$ más $- 4$

$2 (2 u^{2} + (- 3 - 4) u + 6) = 0$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 u^{2} - 3 u - 4 u + 6) = 0$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 ((2 u^{2} - 3 u) - 4 u + 6) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (u (2 u - 3) - 2 (2 u - 3)) = 0$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 3$ .

$2 ((2 u - 3) (u - 2)) = 0$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$2 ((2 x^{2} - 3) (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 7

Establece $2 x^{2} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $2 x^{2} - 3$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 3 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $2 x^{2} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 3$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2}$

Paso 7.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Paso 7.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 7.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 7.2.4.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 7.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 7.2.4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 7.2.4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 7.2.4.3.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 7.2.4.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 7.2.4.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.4.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 7.2.4.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 7.2.4.3.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.4.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Paso 7.2.4.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 7.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 7.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 7.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 7.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Paso 8

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 8.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 8.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 8.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 8.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 8.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 8.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 1.22474487 \dots, - 1.22474487 \dots, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$