Álgebra Ejemplos

$2 x^{\frac{16}{5}} - 16 x^{\frac{13}{5}} = 0$

Paso 1

Obtén un factor común $x^{\frac{13}{5}}$ que esté presente en cada término.

$2 {(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{16}{13}} - 16 x^{\frac{13}{5}}$

Paso 2

Sustituye $u$ por $x^{\frac{13}{5}}$ .

$2 {(u)}^{\frac{16}{13}} - 16 u = 0$

Paso 3

Resuelve $u$

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Factoriza $2 u$ de $2 u^{\frac{16}{13}} - 16 u$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $2 u$ de $2 u^{\frac{16}{13}}$ .

$2 u (u^{\frac{3}{13}}) - 16 u = 0$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $2 u$ de $- 16 u$ .

$2 u (u^{\frac{3}{13}}) + 2 u (- 8) = 0$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $2 u$ de $2 u (u^{\frac{3}{13}}) + 2 u (- 8)$ .

$2 u (u^{\frac{3}{13}} - 8) = 0$

Paso 3.1.2

Reescribe $u^{\frac{3}{13}}$ como ${(u^{\frac{1}{13}})}^{3}$ .

$2 u ({(u^{\frac{1}{13}})}^{3} - 8) = 0$

Paso 3.1.3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$2 u ({(u^{\frac{1}{13}})}^{3} - 2^{3}) = 0$

Paso 3.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = u^{\frac{1}{13}}$ y $b = 2$ .

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) ({(u^{\frac{1}{13}})}^{2} + u^{\frac{1}{13}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 3.1.5

Factoriza.

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Paso 3.1.5.1

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{13}})}^{2}$ .

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Paso 3.1.5.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) (u^{\frac{1}{13} \cdot 2} + u^{\frac{1}{13}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.1.2

Combina $\frac{1}{13}$ y $2$ .

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) (u^{\frac{2}{13}} + u^{\frac{1}{13}} \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{1}{13}}$ .

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) (u^{\frac{2}{13}} + 2 u^{\frac{1}{13}} + 2^{2})) = 0$

Paso 3.1.5.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) (u^{\frac{2}{13}} + 2 u^{\frac{1}{13}} + 4)) = 0$

Paso 3.1.5.1.4

Reordena los términos.

$2 u ((u^{\frac{1}{13}} - 2) (2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4)) = 0$

Paso 3.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 u (u^{\frac{1}{13}} - 2) (2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{13}} - 2 = 0$

$2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4 = 0$

Paso 3.3

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 3.4

Establece $u^{\frac{1}{13}} - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.4.1

Establece $u^{\frac{1}{13}} - 2$ igual a $0$ .

$u^{\frac{1}{13}} - 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $u^{\frac{1}{13}} - 2 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u^{\frac{1}{13}} = 2$

Paso 3.4.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $13$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{1}{13}})}^{13} = 2^{13}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.4.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.3.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 2^{13}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 2^{13}$

Paso 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = 2^{13}$

Paso 3.4.2.3.1.1.2

Simplifica.

$u = 2^{13}$

Paso 3.4.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $13$ .

$u = 8192$

Paso 3.5

Establece $2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4$ igual a $0$ .

$2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4 = 0$ en $u$ .

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Paso 3.5.2.1

Obtén un factor común $u^{\frac{1}{13}}$ que esté presente en cada término.

$2 u^{\frac{1}{13}} {(u^{\frac{1}{13}})}^{2} + 4$

Paso 3.5.2.2

Sustituye $u$ por $u^{\frac{1}{13}}$ .

$2 (u) {(u)}^{2} + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3

Resuelve $u$

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Paso 3.5.2.3.1

Multiplica $u$ por ${(u)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Mueve ${(u)}^{2}$ .

$2 ({(u)}^{2} u) + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.2

Multiplica ${(u)}^{2}$ por $u$ .

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$2 ({(u)}^{2} u^{1}) + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 u^{2 + 1} + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 u^{3} + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 u^{3} = - 4$

Paso 3.5.2.3.3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u^{3} + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.4

Factoriza $2$ de $2 u^{3} + 4$ .

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Paso 3.5.2.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 u^{3}$ .

$2 (u^{3}) + 4 = 0$

Paso 3.5.2.3.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 u^{3} + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 3.5.2.3.4.3

Factoriza $2$ de $2 u^{3} + 2 \cdot 2$ .

$2 (u^{3} + 2) = 0$

Paso 3.5.2.3.5

Divide cada término en $2 (u^{3} + 2) = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.3.5.1

Divide cada término en $2 (u^{3} + 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (u^{3} + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.5.2.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (u^{3} + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 3.5.2.3.5.2.1.2

Divide $u^{3} + 2$ por $1$ .

$u^{3} + 2 = \frac{0}{2}$

Paso 3.5.2.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.5.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$u^{3} + 2 = 0$

Paso 3.5.2.3.6

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$u^{3} = - 2$

Paso 3.5.2.3.7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \sqrt[3]{- 2}$

Paso 3.5.2.3.8

Simplifica $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Paso 3.5.2.3.8.1

Reescribe $- 2$ como ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.3.8.1.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$u = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Paso 3.5.2.3.8.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$u = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Paso 3.5.2.3.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$u = - 1 \sqrt[3]{2}$

Paso 3.5.2.3.8.3

Reescribe $- 1 \sqrt[3]{2}$ como $- \sqrt[3]{2}$ .

$u = - \sqrt[3]{2}$

Paso 3.5.2.4

Sustituye $u$ por $u$ .

$u^{\frac{1}{13}} = - \sqrt[3]{2}$

Paso 3.5.2.5

Resuelve $u$

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Paso 3.5.2.5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $13$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(u^{\frac{1}{13}})}^{13} = {(- \sqrt[3]{2})}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 3.5.2.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.5.2.1.1

Simplifica ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- \sqrt[3]{2})}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- \sqrt[3]{2})}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$u^{1} = {(- \sqrt[3]{2})}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.1.1.2

Simplifica.

$u = {(- \sqrt[3]{2})}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.5.2.2.1

Simplifica ${(- \sqrt[3]{2})}^{13}$ .

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Paso 3.5.2.5.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[3]{2}$ .

$u = {(- 1)}^{13} {\sqrt[3]{2}}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $13$ .

$u = - {\sqrt[3]{2}}^{13}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.3

Reescribe ${\sqrt[3]{2}}^{13}$ como $\sqrt[3]{2^{13}}$ .

$u = - \sqrt[3]{2^{13}}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $13$ .

$u = - \sqrt[3]{8192}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.5

Reescribe $8192$ como $16^{3} \cdot 2$ .

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Paso 3.5.2.5.2.2.1.5.1

Factoriza $4096$ de $8192$ .

$u = - \sqrt[3]{4096 (2)}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.5.2

Reescribe $4096$ como $16^{3}$ .

$u = - \sqrt[3]{16^{3} \cdot 2}$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$u = - (16 \sqrt[3]{2})$

Paso 3.5.2.5.2.2.1.7

Multiplica $16$ por $- 1$ .

$u = - 16 \sqrt[3]{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 u (u^{\frac{1}{13}} - 2) (2 u^{\frac{1}{13}} + u^{\frac{2}{13}} + 4) = 0$ verdadera.

$u = 0, 8192, - 16 \sqrt[3]{2}$

Paso 4

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{13}{5}} = 0, 8192, - 16 \sqrt[3]{2}$

Paso 5

Resuelve para $x^{\frac{13}{5}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{13}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2

Simplifica el exponente.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 5.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $0^{\frac{5}{13}}$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1

Reescribe $0$ como $0^{13}$ .

$x = {(0^{13})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{13 (\frac{5}{13})}$

Paso 5.2.2.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = 0^{13 (\frac{5}{13})}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 0^{5}$

Paso 5.2.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Resuelve para $x^{\frac{13}{5}} = 8192$ en $x$ .

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Paso 6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{13}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Paso 6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 8192^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica $8192^{\frac{5}{13}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1.1

Reescribe $8192$ como $2^{13}$ .

$x = {(2^{13})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{13 (\frac{5}{13})}$

Paso 6.2.2.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = 2^{13 (\frac{5}{13})}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = 2^{5}$

Paso 6.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$x = 32$

Paso 7

Resuelve para $x^{\frac{13}{5}} = - 16 \sqrt[3]{2}$ en $x$ .

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Paso 7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{5}{13}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{13}{5}})}^{\frac{5}{13}}$ .

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Paso 7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13}} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.1.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 7.2.1.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.1.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 16 \sqrt[3]{2})}^{\frac{5}{13}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- 16 \sqrt[3]{2}$ .

$x = {(- 16)}^{\frac{5}{13}} {\sqrt[3]{2}}^{\frac{5}{13}}$

Paso 8

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, 32, {(- 16)}^{\frac{5}{13}} {\sqrt[3]{2}}^{\frac{5}{13}}$

Paso 9

Excluye las soluciones que no hagan que $2 x^{\frac{16}{5}} - 16 x^{\frac{13}{5}} = 0$ sea verdadera.

$x = 0, 32$