Álgebra Ejemplos

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 2} = {(\frac{3}{2})}^{2 X}$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 2})$ ; para ello, mueve $5 x + 2$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{2}{3})$ como $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$

Paso 3

Expande el lado derecho.

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Paso 3.1

Expande $\ln ({(\frac{3}{2})}^{2 X})$ ; para ello, mueve $2 X$ fuera del logaritmo.

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (\frac{3}{2})$ como $\ln (3) - \ln (2)$ .

$(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3)) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $(5 x + 2) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Paso 4.1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(5 x + 2) \ln (\frac{2}{3}) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) = 2 X (\ln (3) - \ln (2))$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) = 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{2}{3}) - 2 X \ln (\frac{3}{2}) = 0$

Paso 7

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1

Resta $2 \ln (\frac{2}{3})$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) - 2 X \ln (\frac{3}{2}) = - 2 \ln (\frac{2}{3})$

Paso 7.2

Suma $2 X \ln (\frac{3}{2})$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$

Paso 8

Divide cada término en $5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$ por $5 \ln (\frac{2}{3})$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $5 x \ln (\frac{2}{3}) = - 2 \ln (\frac{2}{3}) + 2 X \ln (\frac{3}{2})$ por $5 \ln (\frac{2}{3})$ .

$\frac{5 x \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (\frac{2}{3})}{\ln (\frac{2}{3})} = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (\frac{2}{3})$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 2 \ln (\frac{2}{3})}{5 \ln (\frac{2}{3})} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 2}{5} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$

Paso 8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5} + \frac{2 X \ln (\frac{3}{2})}{5 \ln (\frac{2}{3})}$