Álgebra Ejemplos

$2^{x} = 2^{2 x} - 12$

Paso 1

Resta $2^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{x} - 2^{2 x} = - 12$

Paso 2

Reescribe $2^{2 x}$ como exponenciación.

$2^{x} - {(2^{x})}^{2} = - 12$

Paso 3

Sustituye $u$ por $2^{x}$ .

$u - u^{2} = - 12$

Paso 4

Reordena $u$ y $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u = - 12$

Paso 5

Resuelve $u$

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Paso 5.1

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + u + 12 = 0$

Paso 5.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + u + 12$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u + 12 = 0$

Paso 5.2.1.2

Factoriza $- 1$ de $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) + 12 = 0$

Paso 5.2.1.3

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 5.2.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 12 = 0$

Paso 5.2.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - u) - 1 (- 12)$ .

$- (u^{2} - u - 12) = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $u^{2} - u - 12$ con el método AC.

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Paso 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 5.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Paso 5.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 4) (u + 3) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 3 = 0$

Paso 5.4

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.4.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 5.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 5.5

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.5.1

Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Paso 5.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 4) (u + 3) = 0$ verdadera.

$u = 4, - 3$

Paso 6

Sustituye $4$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$4 = 2^{x}$

Paso 7

Resuelve $4 = 2^{x}$ .

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Paso 7.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = 4$ .

$2^{x} = 4$

Paso 7.2

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$2^{x} = 2^{2}$

Paso 7.3

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$x = 2$

Paso 8

Sustituye $- 3$ por $u$ en $u = 2^{x}$ .

$- 3 = 2^{x}$

Paso 9

Resuelve $- 3 = 2^{x}$ .

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $2^{x} = - 3$ .

$2^{x} = - 3$

Paso 9.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 3)$

Paso 9.3

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (- 3)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 9.4

No hay soluciones para $2^{x} = - 3$

No hay solución

Paso 10

Enumera las soluciones que hacen que la ecuación sea verdadera.

$x = 2$