Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 1

Para escribir $\frac{1}{\log_{2} (30)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (30)} \cdot \frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1}{\log_{3} (30)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)}$ .

$\frac{1}{\log_{2} (30)} \cdot \frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\log_{2} (30) \log_{3} (30)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{\log_{2} (30)}$ por $\frac{\log_{3} (30)}{\log_{3} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{\log_{3} (30)}$ por $\frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{\log_{2} (30)}{\log_{3} (30) \log_{2} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $\log_{3} (30) \log_{2} (30)$ .

$\frac{\log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{\log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 5

Para escribir $\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)}$

Paso 6

Para escribir $\frac{1}{\log_{5} (30)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ .

$\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)} \cdot \frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$

Paso 7

Escribe cada expresión con un denominador común de $\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{\log_{3} (30) + \log_{2} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ por $\frac{\log_{5} (30)}{\log_{5} (30)}$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{1}{\log_{5} (30)} \cdot \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$

Paso 7.2

Multiplica $\frac{1}{\log_{5} (30)}$ por $\frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{5} (30) (\log_{2} (30) \log_{3} (30))}$

Paso 7.3

Reordena los factores de $\log_{5} (30) (\log_{2} (30) \log_{3} (30))$ .

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)} + \frac{\log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(\log_{3} (30) + \log_{2} (30)) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\log_{3} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Reescribe $\log_{3} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.2

Reescribe $\log_{5} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (30)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

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Paso 10.3.1

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ por $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (30) \log (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.3.2

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.3.3

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.4

Reescribe $\log_{2} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.4.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.4.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{5} (30) + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.5

Reescribe $\log_{5} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.5.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.5.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.6

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

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Paso 10.6.1

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.6.2

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.6.3

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{2} (30) \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.7

Reescribe $\log_{2} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.7.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.7.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{3} (30)}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.8

Reescribe $\log_{3} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 10.8.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.8.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.9

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

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Paso 10.9.1

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.9.2

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.9.3

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.10

Para escribir $\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.11

Para escribir $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (3)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} \cdot \frac{\log (3)}{\log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $\log (3) \log (5) \log (2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.12.1

Multiplica $\frac{\log^{2} (30)}{\log (3) \log (5)}$ por $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (3) \log (5) \log (2)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)} \cdot \frac{\log (3)}{\log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.12.2

Multiplica $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (5)}$ por $\frac{\log (3)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (3) \log (5) \log (2)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (5) \log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.12.3

Reordena los factores de $\log (3) \log (5) \log (2)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (5) \log (3)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.12.4

Reordena los factores de $\log (2) \log (5) \log (3)$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.14

Para escribir $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.15

Multiplica $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ por $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3)}{\log (2) \log (3) \log (5)} + \frac{\log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 10.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{2} (30) \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Reescribe $\log_{2} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 11.1.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 11.1.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{3} (30) \log_{5} (30)}$

Paso 11.2

Reescribe $\log_{3} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 11.2.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{5} (30)}$

Paso 11.2.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{5} (30)}$

Paso 11.3

Reescribe $\log_{5} (30)$ con el cambio de fórmula base.

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Paso 11.3.1

La regla de cambio de base puede usarse si $a$ y $b$ son mayores que $0$ y no iguales a $1$ , y si $x$ es mayor que $0$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (3)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Paso 11.3.2

Sustituye los valores por las variables en la fórmula de cambio de base mediante $b = 10$ .

Paso 11.4

Combina exponentes.

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Paso 11.4.1

Multiplica $\frac{\log (30)}{\log (2)}$ por $\frac{\log (30)}{\log (3)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Paso 11.4.2

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{1} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Paso 11.4.3

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{1} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Paso 11.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{{\log (30)}^{1 + 1}}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Paso 11.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)} \cdot \frac{\log (30)}{\log (5)}}$

Paso 11.4.6

Multiplica $\frac{\log^{2} (30)}{\log (2) \log (3)}$ por $\frac{\log (30)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30) \log (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Paso 11.4.7

Multiplica $\log^{2} (30)$ por $\log (30)$ sumando los exponentes.

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Paso 11.4.7.1

Multiplica $\log^{2} (30)$ por $\log (30)$ .

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Paso 11.4.7.1.1

Eleva $\log (30)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{2} (30) \log^{1} (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Paso 11.4.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{{\log (30)}^{2 + 1}}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Paso 11.4.7.2

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}{\frac{\log^{3} (30)}{\log (2) \log (3) \log (5)}}$

Paso 12

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2) \log (3) \log (5)}{\log^{3} (30)}$

Paso 13

Cancela el factor común de $\log (2) \log (3) \log (5)$ .

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Paso 13.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)}{\log (2) \log (3) \log (5)} \cdot \frac{\log (2) \log (3) \log (5)}{\log^{3} (30)}$

Paso 13.2

Reescribe la expresión.

$(\log^{2} (30) \log (2) + \log^{2} (30) \log (3) + \log^{2} (30) \log (5)) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 14

Aplica la propiedad distributiva.

$\log^{2} (30) \log (2) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Cancela el factor común de $\log^{2} (30)$ .

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Paso 15.1.1

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{2} (30) \log (2)$ .

$\log^{2} (30) (\log (2)) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.1.2

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{3} (30)$ .

$\log^{2} (30) (\log (2)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.1.3

Cancela el factor común.

$\log^{2} (30) \log (2) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.1.4

Reescribe la expresión.

$\log (2) \frac{1}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.2

Combina $\log (2)$ y $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.3

Cancela el factor común de $\log^{2} (30)$ .

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Paso 15.3.1

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{2} (30) \log (3)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (3)) \frac{1}{\log^{3} (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.3.2

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{3} (30)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (3)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (3) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \log (3) \frac{1}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.4

Combina $\log (3)$ y $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.5

Cancela el factor común de $\log^{2} (30)$ .

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Paso 15.5.1

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{2} (30) \log (5)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (5)) \frac{1}{\log^{3} (30)}$

Paso 15.5.2

Factoriza $\log^{2} (30)$ de $\log^{3} (30)$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) (\log (5)) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)}$

Paso 15.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log^{2} (30) \log (5) \frac{1}{\log^{2} (30) \log (30)}$

Paso 15.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \log (5) \frac{1}{\log (30)}$

Paso 15.6

Combina $\log (5)$ y $\frac{1}{\log (30)}$ .

$\frac{\log (2)}{\log (30)} + \frac{\log (3)}{\log (30)} + \frac{\log (5)}{\log (30)}$

Paso 16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\log (2) + \log (3) + \log (5)}{\log (30)}$

Paso 17

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 3) + \log (5)}{\log (30)}$

Paso 18

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (2 \cdot 3 \cdot 5)}{\log (30)}$

Paso 19

Multiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 19.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\log (6 \cdot 5)}{\log (30)}$

Paso 19.2

Multiplica $6$ por $5$ .

$\frac{\log (30)}{\log (30)}$

Paso 20

Cancela el factor común de $\log (30)$ .

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Paso 20.1

Cancela el factor común.

$\frac{\log (30)}{\log (30)}$

Paso 20.2

Reescribe la expresión.

$1$