Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$ por $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$ .

$\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \cdot \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i}$ por $\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i}$ .

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{(\sqrt{3} - i) (\sqrt{3} + i)}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} i - i \sqrt{3} - i^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)}{4}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{3} + i) (\sqrt{3} + i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + i) + i (\sqrt{3} + i)}{4}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} i + i (\sqrt{3} + i)}{4}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Paso 4.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{9} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Paso 4.1.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Paso 4.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i i}{4}$

Paso 4.1.5

Multiplica $i i$ .

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Paso 4.1.5.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1} i}{4}$

Paso 4.1.5.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1}}{4}$

Paso 4.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{1 + 1}}{4}$

Paso 4.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} + i^{2}}{4}$

Paso 4.1.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3} - 1}{4}$

Paso 4.2

Resta $1$ de $3$ .

$\frac{2 + \sqrt{3} i + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $\sqrt{3} i$ .

$\frac{2 + i \sqrt{3} + i \sqrt{3}}{4}$

Paso 4.4

Suma $i \sqrt{3}$ y $i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 5

Cancela el factor común de $2 + 2 i \sqrt{3}$ y $4$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 i \sqrt{3}}{4}$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.3

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1 + 2 (i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Paso 5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{2 (2)}$

Paso 5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot (1 + i \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$