Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (3 x^{2} - 3) - \log_{2} (2 x + 2) = 4$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{3 x^{2} - 3}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 x + 2}) = 4$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Factoriza $2$ de $2 x + 2$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2}) = 4$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x) + 2 (1)}) = 4$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (1)$ .

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Paso 1.3.2

Reduce la expresión $\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{2 (x + 1)}) = 4$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (\frac{3 (x - 1)}{2}) = 4$

Paso 1.4

Reescribe $\frac{3 (x - 1)}{2}$ como $3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1}) = 4$

Paso 1.5

Reescribe $\log_{2} (3 (x - 1) \cdot 2^{- 1})$ como $\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) + \log_{2} (2^{- 1}) = 4$

Paso 1.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $- 1$ fuera del exponente.

$\log_{2} (3 (x - 1)) - \log_{2} (2) = 4$

Paso 1.7

El logaritmo en base $2$ de $2$ es $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 \cdot 1 = 4$

Paso 1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\log_{2} (3 (x - 1)) - 1 = 4$

Paso 1.9

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (3 x + 3 \cdot - 1) - 1 = 4$

Paso 1.9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) - 1 = 4$

Paso 2

Mueve todos los términos que no contengan $\log_{2} (3 x - 3)$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\log_{2} (3 x - 3) = 4 + 1$

Paso 2.2

Suma $4$ y $1$ .

$\log_{2} (3 x - 3) = 5$

Paso 3

Reescribe $\log_{2} (3 x - 3) = 5$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 3 x - 3$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $3 x - 3 = 2^{5}$ .

$3 x - 3 = 2^{5}$

Paso 4.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$3 x - 3 = 32$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 32 + 3$

Paso 4.3.2

Suma $32$ y $3$ .

$3 x = 35$

Paso 4.4

Divide cada término en $3 x = 35$ por $3$ y simplifica.

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Paso 4.4.1

Divide cada término en $3 x = 35$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{35}{3}$

Paso 4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{35}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{35}{3}$

Forma decimal:

$x = 11.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$x = 11 \frac{2}{3}$