Álgebra Ejemplos

$25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Reescribe $\ln (25^{7 p - 2} \cdot 625^{3 - 2 p})$ como $\ln (25^{7 p - 2}) + \ln (625^{3 - 2 p})$ .

$\ln (25^{7 p - 2}) + \ln (625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Paso 2.2

Expande $\ln (25^{7 p - 2})$ ; para ello, mueve $7 p - 2$ fuera del logaritmo.

$(7 p - 2) \ln (25) + \ln (625^{3 - 2 p}) = \ln (1)$

Paso 2.3

Expande $\ln (625^{3 - 2 p})$ ; para ello, mueve $3 - 2 p$ fuera del logaritmo.

$(7 p - 2) \ln (25) + (3 - 2 p) \ln (625) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + (3 - 2 p) \ln (625) = \ln (1)$

Paso 3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) - 2 p \ln (625) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) - 2 p \ln (625) = 0$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Mueve $3 \ln (625)$ .

$7 p \ln (25) - 2 \ln (25) - 2 p \ln (625) + 3 \ln (625) = 0$

Paso 5.2

Mueve $- 2 \ln (25)$ .

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) - 2 \ln (25) + 3 \ln (625) = 0$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $p$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $2 \ln (25)$ a ambos lados de la ecuación.

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) + 3 \ln (625) = 2 \ln (25)$

Paso 6.2

Resta $3 \ln (625)$ de ambos lados de la ecuación.

$7 p \ln (25) - 2 p \ln (625) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Paso 7

Factoriza $p$ de $7 p \ln (25) - 2 p \ln (625)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $p$ de $7 p \ln (25)$ .

$p (7 \ln (25)) - 2 p \ln (625) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Paso 7.2

Factoriza $p$ de $- 2 p \ln (625)$ .

$p (7 \ln (25)) + p (- 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Paso 7.3

Factoriza $p$ de $p (7 \ln (25)) + p (- 2 \ln (625))$ .

$p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$

Paso 8

Divide cada término en $p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$ por $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $p (7 \ln (25) - 2 \ln (625)) = 2 \ln (25) - 3 \ln (625)$ por $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ .

$\frac{p (7 \ln (25) - 2 \ln (625))}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $7 \ln (25) - 2 \ln (625)$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{p (7 \ln (25) - 2 \ln (625))}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Paso 8.2.1.2

Divide $p$ por $1$ .

$p = \frac{2 \ln (25)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)} + \frac{- 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$p = \frac{2 \ln (25) - 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$p = \frac{2 \ln (25) - 3 \ln (625)}{7 \ln (25) - 2 \ln (625)}$

Forma decimal:

$p = - 1.\overline{3}$