Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Paso 1

Multiplica $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Paso 2.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

$\frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 3

Expande $(\sqrt{10} - \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{10} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{10} \sqrt{5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{\sqrt{10 \cdot 5} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.2

Multiplica $10$ por $5$ .

$\frac{\sqrt{50} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.3

Reescribe $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $25$ de $50$ .

$\frac{\sqrt{25 (2)} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.3.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{2} + \sqrt{10} (- \sqrt{2}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.5

Multiplica $\sqrt{10} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 4.5.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{10 \cdot 2} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.5.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{20} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.6

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{4 (5)} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{5 \sqrt{2} - (2 \sqrt{5}) - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} \sqrt{5} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.9

Multiplica $- \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Paso 4.9.1

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.9.2

Eleva $\sqrt{5}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 4.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5^{1} - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.10.5

Evalúa el exponente.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 1 \cdot 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.11

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 - \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Paso 4.12

Multiplica $- \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

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Paso 4.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + 1 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Paso 4.12.2

Multiplica $\sqrt{5}$ por $1$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Paso 4.12.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{5 \cdot 2}}{3}$

Paso 4.12.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5 \sqrt{2} - 2 \sqrt{5} - 5 + \sqrt{10}}{3}$

Forma decimal:

$0.25373650 \dots$