Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \div \frac{x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} + 5 x}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 2.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 2.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 3

Cancela el factor común de $x^{2} + 9$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 3.2

Divide $(x + 3) (x - 3)$ por $1$ .

$(x + 3) (x - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 4

Expande $(x + 3) (x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x (x - 3) + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 3$ y $3 x$ .

$(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5.1.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5.1.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 5 x$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5.2.2

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 5.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + 2 x - 15$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{2} + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Paso 7.1.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Paso 7.2

Simplifica los términos.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x + 5$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

Paso 7.2.1.2

Reescribe la expresión.

$(x^{2} - 9) \frac{x}{x - 3}$

Paso 7.2.2

Multiplica $x^{2} - 9$ por $\frac{x}{x - 3}$ .

$\frac{(x^{2} - 9) x}{x - 3}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) x}{x - 3}$

Paso 8.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Paso 9

Simplifica los términos.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

Paso 9.1.2

Divide $(x + 3) x$ por $1$ .

$(x + 3) x$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + 3 x$

Paso 9.3

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 3 x$