Álgebra Ejemplos

$\sqrt{2}$ , $\sqrt{8}$

Paso 1

$x = \sqrt{2}$ y $x = \sqrt{8}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - \sqrt{2}$ y $x - \sqrt{8}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{8}) = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{4 (2)}) = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - \sqrt{2}) (x - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) = 0$

Paso 2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$(x - \sqrt{2}) (x - (2 \sqrt{2})) = 0$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x - \sqrt{2}) (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 3

Expande $(x - \sqrt{2}) (x - 2 \sqrt{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} (x - 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Paso 4.1.2

Multiplica $- \sqrt{2} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 0$

Paso 4.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2}) = 0$

Paso 4.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 (\sqrt{2} \sqrt{2}) = 0$

Paso 4.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} = 0$

Paso 4.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {\sqrt{2}}^{2} = 0$

Paso 4.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0$

Paso 4.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0$

Paso 4.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} = 0$

Paso 4.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} = 0$

Paso 4.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 4.1.3.5

Evalúa el exponente.

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 2 \cdot 2 = 0$

Paso 4.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - \sqrt{2} x + 4 = 0$

Paso 4.2

Reordena los factores de $- \sqrt{2} x$ .

$x^{2} + x (- 2 \sqrt{2}) - x \sqrt{2} + 4 = 0$

Paso 4.3

Resta $x \sqrt{2}$ de $x (- 2 \sqrt{2})$ .

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Paso 4.3.1

Reordena $x$ y $- 2$ .

$x^{2} - 2 \cdot (x \sqrt{2}) - x \sqrt{2} + 4 = 0$

Paso 4.3.2

Resta $x \sqrt{2}$ de $- 2 \cdot x \sqrt{2}$ .

$x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4 = 0$

Paso 5

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${\sqrt{2}, \sqrt{8}}$ es $y = x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4$ .

$y = x^{2} - 3 x \sqrt{2} + 4$

Paso 6