Álgebra Ejemplos

$2 x - y^{2} = 4 y + 10$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - y^{2} - 4 y = 10$

Paso 1.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x - y^{2} - 4 y - 10 = 0$

Paso 1.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.4

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = - 4$ y $c = 2 x - 10$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.5.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.5.1.2.1

Reordena $- 4$ y $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.2.4

Reescribe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ como $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.3

Suma $- 10$ y $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 6$ .

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Paso 1.5.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.7

Reescribe $8 (x - 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Paso 1.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Paso 1.5.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Paso 1.5.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.5.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ como $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.6.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.6.1.2.1

Reordena $- 4$ y $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.2.4

Reescribe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ como $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.3

Suma $- 10$ y $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 6$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.7

Reescribe $8 (x - 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Paso 1.6.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Paso 1.6.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Paso 1.6.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.6.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ como $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.6.6

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - (2 + \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.6.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 \cdot 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.6.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.7.1.1.1

Factoriza $- 4$ de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 \cdot - 4 - 4 (- 1 \cdot (2 x - 10))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 1 \cdot (2 x - 10))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 - 1 \cdot (2 x - 10)$ .

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Paso 1.7.1.2.1

Reordena $- 4$ y $- 1 \cdot (2 x - 10)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.2.2

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10) - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.2.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2 x - 10) - 1 (4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.2.4

Reescribe $- 1 (2 x - 10 + 4)$ como $- (2 x - 10 + 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 10 + 4))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.3

Suma $- 10$ y $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.4

Factoriza $2$ de $2 x - 6$ .

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Paso 1.7.1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x) - 6))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 x + 2 \cdot - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.4.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 1 \cdot (2 (x - 3)))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (- 2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{8 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.7

Reescribe $8 (x - 3)$ como $2^{2} \cdot (2 (x - 3))$ .

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Paso 1.7.1.7.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2) (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.7.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (x - 3))}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$

Paso 1.7.3

Simplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2 (x - 3)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$

Paso 1.7.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \pm \sqrt{2 (x - 3)}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.7.5

Reescribe $- 1 \cdot (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ como $- (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$ .

$y = - (2 \pm \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.7.6

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - (2 - \sqrt{2 (x - 3)})$

Paso 1.7.7

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 1 \cdot 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.7.8

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.7.9

Multiplica $- - \sqrt{2 (x - 3)}$ .

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Paso 1.7.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 2 + 1 \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.7.9.2

Multiplica $\sqrt{2 (x - 3)}$ por $1$ .

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 1.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 2

Para escribir un polinomio en una ecuación ordinaria, simplifica y luego organiza los términos en orden descendente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 3

La ecuación ordinaria es $- 2 - \sqrt{2 (x - 3)}, - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$ .

$y = - 2 - \sqrt{2 (x - 3)}$

$y = - 2 + \sqrt{2 (x - 3)}$

Paso 4