Álgebra Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{x - 1} + 3$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \frac{1}{x - 1} + 3$ como una ecuación.

$y = - \frac{1}{x - 1} + 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \frac{1}{y - 1} + 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{y - 1} + 3 = x$ .

$- \frac{1}{y - 1} + 3 = x$

Paso 3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{y - 1} = x - 3$

Paso 3.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y - 1, 1, 1$

Paso 3.3.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 1$

Paso 3.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y - 1} = x - 3$ por $y - 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y - 1} = x - 3$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y - 1}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = x (y - 1) - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = x y + x \cdot - 1 - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- 1 = x y - 1 \cdot x - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- 1 = x y - x - 3 (y - 1)$

Paso 3.4.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = x y - x - 3 y - 3 \cdot - 1$

Paso 3.4.3.1.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$- 1 = x y - x - 3 y + 3$

Paso 3.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x y - x - 3 y + 3 = - 1$ .

$x y - x - 3 y + 3 = - 1$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.2.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y - 3 y + 3 = - 1 + x$

Paso 3.5.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x y - 3 y = - 1 + x - 3$

Paso 3.5.2.3

Resta $3$ de $- 1$ .

$x y - 3 y = x - 4$

Paso 3.5.3

Factoriza $y$ de $x y - 3 y$ .

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Paso 3.5.3.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y x - 3 y = x - 4$

Paso 3.5.3.2

Factoriza $y$ de $- 3 y$ .

$y x + y \cdot - 3 = x - 4$

Paso 3.5.3.3

Factoriza $y$ de $y x + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = x - 4$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $y (x - 3) = x - 4$ por $x - 3$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $y (x - 3) = x - 4$ por $x - 3$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 3.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{x}{x - 3} + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 3.5.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{x - 3} + \frac{- 4}{x - 3}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x - 4}{x - 3}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{x - 3}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{x - 3}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{1}{x - 1} + 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{(- \frac{1}{x - 1} + 3) - 4}{(- \frac{1}{x - 1} + 3) - 3}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{- \frac{1}{x - 1} + 3 - 4}{- \frac{1}{x - 1} + 3 - 3}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{- \frac{1}{x - 1} + 3 - 4}{- \frac{1}{x - 1} + 3 - 3}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1} + 3 - 4)}{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1} + 3 - 3)}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x - 1}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5.1.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5.1.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (- \frac{1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x - 1}$ al numerador.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (\frac{- 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{(x - 1) (\frac{- 1}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 4}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Reordena $x - 1$ y $- 4$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 + 3 \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.2

Resta $4 \cdot (x - 1)$ de $3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- 1 - (x - 1)}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 - (x - 1)$ .

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Paso 5.2.6.3.1

Reordena $- 1$ y $- (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- (x - 1) - 1}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- (x - 1) - 1 \cdot 1}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x - 1) - 1 (1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- (x - 1 + 1)}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- (x + 0)}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.6.5

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + (x - 1) \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + x \cdot 3 - 1 \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + 3 \cdot x - 1 \cdot 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + 3 \cdot x - 3 + (x - 1) \cdot - 3}$

Paso 5.2.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + 3 x - 3 + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Paso 5.2.7.5

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + 3 x - 3 - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Paso 5.2.7.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1 + 3 x - 3 - 3 \cdot x + 3}$

Paso 5.2.7.7

Resta $3$ de $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{3 x - 4 - 3 x + 3}$

Paso 5.2.7.8

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{0 - 4 + 3}$

Paso 5.2.7.9

Resta $4$ de $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 4 + 3}$

Paso 5.2.7.10

Suma $- 4$ y $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{- x}{- 1}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.8.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = \frac{x}{1}$

Paso 5.2.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{x - 1} + 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x - 4}{x - 3})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{(\frac{x - 4}{x - 3}) - 1} + 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{x - 4}{x - 3} - 1 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.2

Combina $- 1$ y $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{x - 4}{x - 3} + \frac{- (x - 3)}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{x - 4 - (x - 3)}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.4

Reescribe $\frac{x - 4 - (x - 3)}{x - 3}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{x - 4 - x + 3}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{x - 4 - x + 3}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.4.3

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{0 - 4 + 3}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.4.4

Resta $4$ de $0$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{- 4 + 3}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.4.5

Suma $- 4$ y $3$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{\frac{- 1}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{1}{- \frac{1}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = \frac{1}{\frac{1}{x - 3}} + 3$

Paso 5.3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = (1 (x - 3)) + 3$

Paso 5.3.3.4

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = (x - 3) + 3$

Paso 5.3.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - (- x + 3) + 3$

Paso 5.3.3.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = - (- x + 3) + 3$

Paso 5.3.3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = x - 1 \cdot 3 + 3$

Paso 5.3.3.8

Multiplica $- - x$ .

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Paso 5.3.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = 1 x - 1 \cdot 3 + 3$

Paso 5.3.3.8.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = x - 1 \cdot 3 + 3$

Paso 5.3.3.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = x - 3 + 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x - 4}{x - 3}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{x - 3}$ es la inversa de $f (x) = - \frac{1}{x - 1} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 4}{x - 3}$