Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x^{2} + 6 x} = x + \sqrt{2 x}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x^{2} + 6 x}}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 6 x}$ como ${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} + 6 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} + 6 x)}^{1} = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} + 6 x = {(x + \sqrt{2 x})}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(x + \sqrt{2 x})}^{2}$ como $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ .

$x^{2} + 6 x = (x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$

Paso 2.3.1.2

Expande $(x + \sqrt{2 x}) (x + \sqrt{2 x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x = x (x + \sqrt{2 x}) + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} (x + \sqrt{2 x})$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 6 x = x \cdot x + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $\sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$ .

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Paso 2.3.1.3.1.2.1

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

Paso 2.3.1.3.1.2.2

Eleva $\sqrt{2 x}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

Paso 2.3.1.3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {\sqrt{2 x}}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.3

Reescribe ${\sqrt{2 x}}^{2}$ como $2 x$ .

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Paso 2.3.1.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 2.3.1.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

Paso 2.3.1.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + {(2 x)}^{1}$

Paso 2.3.1.3.1.3.5

Simplifica.

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} x + 2 x$

Paso 2.3.1.3.2

Reordena los factores de $\sqrt{2 x} x$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + x \sqrt{2 x} + x \sqrt{2 x} + 2 x$

Paso 2.3.1.3.3

Suma $x \sqrt{2 x}$ y $x \sqrt{2 x}$ .

$x^{2} + 6 x = x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x$

Paso 3

Resuelve $2 x \sqrt{2 x}$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $2 x \sqrt{2 x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \sqrt{2 x} + 2 x = x^{2} + 6 x - x^{2}$

Paso 3.2.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x \sqrt{2 x} = x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$

Paso 3.2.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 6 x - x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.2.3.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x + 0 - 2 x$

Paso 3.2.3.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 6 x - 2 x$

Paso 3.2.4

Resta $2 x$ de $6 x$ .

$2 x \sqrt{2 x} = 4 x$

Paso 4

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 x \sqrt{2 x})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica ${(2 x {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

${(2 x (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $2$ por $2^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.2.1.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

${(2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(2^{1 + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(2^{\frac{2 + 1}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.3.4

Suma $2$ y $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.4.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 5.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(2^{\frac{3}{2}} (x^{\frac{1}{2}} x^{1}))}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + 1})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1 + 2}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.4.5

Suma $1$ y $2$ .

${(2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.5

Aplica la regla del producto a $2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{3} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.2.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.8.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.8.2.1

Cancela el factor común.

$8 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.2.1.8.2.2

Reescribe la expresión.

$8 x^{3} = {(4 x)}^{2}$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica ${(4 x)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1.1

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$8 x^{3} = 4^{2} x^{2}$

Paso 5.3.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$8 x^{3} = 16 x^{2}$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Resta $16 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x^{3} - 16 x^{2} = 0$

Paso 6.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{3} - 16 x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) - 16 x^{2} = 0$

Paso 6.2.2

Factoriza $8 x^{2}$ de $- 16 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2) = 0$

Paso 6.2.3

Factoriza $8 x^{2}$ de $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (- 2)$ .

$8 x^{2} (x - 2) = 0$

Paso 6.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 6.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 6.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 6.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 6.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 6.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 6.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $8 x^{2} (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$