Álgebra Ejemplos

$16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8} = {(\frac{1}{32})}^{2 y - 3}$

Paso 1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 2

Reescribe $\ln (16^{- 3 y} \cdot \frac{1}{8})$ como $\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8})$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (\frac{1}{8}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 3

Reescribe $\ln (\frac{1}{8})$ como $\ln (1) - \ln (8)$ .

$\ln (16^{- 3 y}) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 4

Expande $\ln (16^{- 3 y})$ ; para ello, mueve $- 3 y$ fuera del logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + \ln (1) - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 5

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (8) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 6

Reescribe $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - \ln (2^{3}) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 7

Expande $\ln (2^{3})$ ; para ello, mueve $3$ fuera del logaritmo.

$- 3 y \ln (16) + 0 - (3 \ln (2)) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) + 0 - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 9

Resta $3 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = \ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$

Paso 10

Expande $\ln ({(\frac{1}{32})}^{2 y - 3})$ ; para ello, mueve $2 y - 3$ fuera del logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) \ln (\frac{1}{32})$

Paso 11

Reescribe $\ln (\frac{1}{32})$ como $\ln (1) - \ln (32)$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (\ln (1) - \ln (32))$

Paso 12

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (32))$

Paso 13

Reescribe $\ln (32)$ como $\ln (2^{5})$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - \ln (2^{5}))$

Paso 14

Expande $\ln (2^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - (5 \ln (2)))$

Paso 15

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (0 - 5 \ln (2))$

Paso 16

Resta $5 \ln (2)$ de $0$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = (2 y - 3) (- 5 \ln (2))$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 17.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = 2 y (- 5 \ln (2)) - 3 (- 5 \ln (2))$

Paso 17.1.2

Multiplica.

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Paso 17.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) - 3 (- 5 \ln (2))$

Paso 17.1.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.1

Simplifica $- 3 y \ln (16) - 3 \ln (2)$ .

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Paso 17.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.1.1.1

Simplifica $- 3 \ln (16)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y (- \ln (16^{3})) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.2.1.1.2

Eleva $16$ a la potencia de $3$ .

$y (- \ln (4096)) - 3 \ln (2) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.2.1.1.3

Simplifica $- 3 \ln (2)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y (- \ln (4096)) - \ln (2^{3}) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.2.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y (- \ln (4096)) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.2.1.2

Reordena los factores en $y (- \ln (4096)) - \ln (8)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$

Paso 17.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.3.1

Simplifica $- 10 y \ln (2) + 15 \ln (2)$ .

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Paso 17.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.3.1.1.1

Simplifica $- 10 \ln (2)$ al mover $10$ dentro del algoritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (2^{10})) + 15 \ln (2)$

Paso 17.3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + 15 \ln (2)$

Paso 17.3.1.1.3

Simplifica $15 \ln (2)$ al mover $15$ dentro del algoritmo.

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (2^{15})$

Paso 17.3.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $15$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$

Paso 17.3.1.2

Reordena los factores en $y (- \ln (1024)) + \ln (32768)$ .

$- y \ln (4096) - \ln (8) = - y \ln (1024) + \ln (32768)$

Paso 17.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- y \ln (4096) - \ln (8) + y \ln (1024) - \ln (32768) = 0$

Paso 17.5

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 17.5.1

Suma $\ln (8)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) - \ln (32768) = \ln (8)$

Paso 17.5.2

Suma $\ln (32768)$ a ambos lados de la ecuación.

$- y \ln (4096) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Paso 17.6

Factoriza $y$ de $- y \ln (4096) + y \ln (1024)$ .

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Paso 17.6.1

Factoriza $y$ de $- y \ln (4096)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y \ln (1024) = \ln (8) + \ln (32768)$

Paso 17.6.2

Factoriza $y$ de $y \ln (1024)$ .

$y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Paso 17.6.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (4096)) + y (\ln (1024))$ .

$y (- 1 \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Paso 17.7

Reescribe $- 1 \ln (4096)$ como $- \ln (4096)$ .

$y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$

Paso 17.8

Divide cada término en $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ por $- \ln (4096) + \ln (1024)$ y simplifica.

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Paso 17.8.1

Divide cada término en $y (- \ln (4096) + \ln (1024)) = \ln (8) + \ln (32768)$ por $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Paso 17.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.8.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (4096) + \ln (1024)$ .

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Paso 17.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \ln (4096) + \ln (1024))}{- \ln (4096) + \ln (1024)} = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Paso 17.8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (8)}{- \ln (4096) + \ln (1024)} + \frac{\ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Paso 17.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Paso 17.8.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4096)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) + \ln (1024)}$

Paso 17.8.3.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (1024)$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))}$

Paso 17.8.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \ln (4096) - 1 (- \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Paso 17.8.3.5

Reescribe los negativos.

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Paso 17.8.3.5.1

Reescribe $- (\ln (4096) - \ln (1024))$ como $- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))$ .

$y = \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{- 1 (\ln (4096) - \ln (1024))}$

Paso 17.8.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Paso 18

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = - \frac{\ln (8) + \ln (32768)}{\ln (4096) - \ln (1024)}$

Forma decimal:

$y = - 9.000000000000 \dots$