Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

Paso 1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

Paso 2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ ; para ello, mueve $x^{2} - x - 2$ fuera del logaritmo.

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

Paso 2.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 2.4

Resta $\ln (2)$ de $0$ .

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Simplifica $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $- x (- \ln (2))$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

Paso 3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Paso 3.1.3

Reordena los factores en $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - \ln (2)$ , $b = \ln (2)$ y $c = 2 \ln (2)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

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Paso 7.1.1.1

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.1.2

Factoriza $\ln (2)$ de $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.1.3

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.2

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

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Paso 7.1.2.1

Eleva $\ln (2)$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.2.2

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln^{1} (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.2.3

Factoriza $\ln (2)$ de $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.2.4

Factoriza $\ln (2)$ de $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ .

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Paso 7.1.3.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.4

Suma $1$ y $8$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.5

Combina exponentes.

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Paso 7.1.5.1

Eleva $\ln (2)$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.5.2

Eleva $\ln (2)$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.5.4

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.6

Reescribe $\ln^{2} (2) \cdot 9$ como ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.1.8

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (2)$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

Paso 7.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ .

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 2, - 1$