Álgebra Ejemplos

$y x^{6} + 27 y^{7}$

Paso 1

Factoriza $y$ de $y x^{6} + 27 y^{7}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $y$ de $y x^{6}$ .

$y (x^{6}) + 27 y^{7}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $27 y^{7}$ .

$y (x^{6}) + y (27 y^{6})$

Paso 1.3

Factoriza $y$ de $y (x^{6}) + y (27 y^{6})$ .

$y (x^{6} + 27 y^{6})$

Paso 2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

$y ({(x^{2})}^{3} + 27 y^{6})$

Paso 3

Reescribe $27 y^{6}$ como ${(3 y^{2})}^{3}$ .

$y ({(x^{2})}^{3} + {(3 y^{2})}^{3})$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 3 y^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Simplifica.

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Paso 5.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - x^{2} (3 y^{2}) + {(3 y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 1 \cdot 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + {(3 y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.4

Aplica la regla del producto a $3 y^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 3^{2} {(y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 {(y^{2})}^{2}))$

Paso 5.1.6

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{2 \cdot 2}))$

Paso 5.1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Paso 5.1.7

Factoriza.

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $x^{4} - 3 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.7.1.1

Reescribe el término medio.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) - 9 x^{2} y^{2} + 9 y^{4}))$

Paso 5.1.7.1.2

Reorganiza los términos.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{4} + 2 x^{2} (3 y^{2}) + 9 y^{4} - 9 x^{2} y^{2}))$

Paso 5.1.7.1.3

Factoriza los primeros tres términos por la regla del cuadrado perfecto.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - 9 x^{2} y^{2}))$

Paso 5.1.7.1.4

Reescribe $9 x^{2} y^{2}$ como ${(3 x y)}^{2}$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ({(x^{2} + 3 y^{2})}^{2} - {(3 x y)}^{2}))$

Paso 5.1.7.1.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2} + 3 y^{2}$ y $b = 3 x y$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - (3 x y))))$

Paso 5.1.7.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.7.1.6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 (x y))))$

Paso 5.1.7.1.6.2

Elimina los paréntesis.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) ((x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)))$

Paso 5.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y ((x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y))$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (x^{2} + 3 y^{2}) (x^{2} + 3 y^{2} + 3 x y) (x^{2} + 3 y^{2} - 3 x y)$