Álgebra Ejemplos

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{\frac{4}{3}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

Paso 2

Sea $u = x^{\frac{2}{3}}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

Paso 3

Factoriza $u^{2} - 10 u + 9$ con el método AC.

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Paso 3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $9$ y cuya suma es $- 10$ .

$- 9, - 1$

Paso 3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Paso 5

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Paso 6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{1}{3}}$ y $b = 3$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

Paso 8

Reescribe $x^{\frac{2}{3}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

Paso 9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{\frac{1}{3}}$ y $b = 1$ .

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Paso 12

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Paso 12.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 12.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 12.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 12.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Paso 12.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 3)}^{3}$

Paso 12.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.3.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x = - 27$

Paso 13

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 3$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 3$

Paso 13.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Paso 13.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 13.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 13.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 13.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 3^{3}$

Paso 13.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 3^{3}$

Paso 13.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = 27$

Paso 14

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} + 1$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Paso 14.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 14.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Paso 14.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 14.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 14.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 14.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 14.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{3}$

Paso 14.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - 1$

Paso 15

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x^{\frac{1}{3}} - 1$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$

Paso 15.2

Resuelve $x^{\frac{1}{3}} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 15.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Paso 15.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 15.2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 15.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 15.2.3.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 15.2.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{3}$

Paso 15.2.3.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{3}$

Paso 15.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 15.2.3.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 27, 27, - 1, 1$