Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (3 x^{2} - 3) - \log_{5} (x + 5) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{3 x^{2} - 3}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{x + 5}) = 1$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{5} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x + 5}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x + 5}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{3 (x + 1) (x - 1)}{x + 5}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$3 (x + 1) (x - 1) = 5 (x + 5)$

Paso 4

Simplifica $5 (x + 5)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (x + 1) (x - 1) = 5 x + 5 \cdot 5$

Paso 4.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$3 (x + 1) (x - 1) = 5 x + 25$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 (x + 1) (x - 1) - 5 x = 25$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 3 \cdot 1) (x - 1) - 5 x = 25$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$(3 x + 3) (x - 1) - 5 x = 25$

Paso 5.2.3

Expande $(3 x + 3) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x (x - 1) + 3 (x - 1) - 5 x = 25$

Paso 5.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 (x - 1) - 5 x = 25$

Paso 5.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 1 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 3 x - 3 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4.2

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$3 x^{2} + 0 - 3 - 5 x = 25$

Paso 5.2.4.3

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$3 x^{2} - 3 - 5 x = 25$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 5 x = 25 + 3$

Paso 6.2

Suma $25$ y $3$ .

$3 x^{2} - 5 x = 28$

Paso 7

Resta $28$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - 5 x - 28 = 0$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 28 = - 84$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$3 x^{2} - 5 x - 28 = 0$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 5$ como $7$ más $- 12$

$3 x^{2} + (7 - 12) x - 28 = 0$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 7 x - 12 x - 28 = 0$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 7 x) - 12 x - 28 = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 7) - 4 (3 x + 7) = 0$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 7$ .

$(3 x + 7) (x - 4) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 10

Establece $3 x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $3 x + 7$ igual a $0$ .

$3 x + 7 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $3 x + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 7$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $3 x = - 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{3}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{7}{3}$

Paso 11

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 11.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 7) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{7}{3}, 4$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{7}{3}, 4$

Forma decimal:

$x = - 2.\overline{3}, 4$

Forma de número mixto:

$x = - 2 \frac{1}{3}, 4$