Álgebra Ejemplos

$y = 5^{\frac{x}{2}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 5^{\frac{y}{2}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $5^{\frac{y}{2}} = x$ .

$5^{\frac{y}{2}} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (5^{\frac{y}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{y}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{y}{2} \ln (5) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{y}{2}$ y $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{2} = \ln (x)$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Simplifica $\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2}$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{y \ln (5)}{2} = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (5)} (y \ln (5)) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 2.5.1.1.2.1

Factoriza $\ln (5)$ de $y \ln (5)$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\ln (5)} (\ln (5) y) = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{\ln (5)} \ln (x)$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Combina $\frac{2}{\ln (5)}$ y $\ln (x)$ .

$y = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 \ln (5^{\frac{x}{2}})}{\ln (5)}$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (5^{\frac{x}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{x}{2}$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $\ln (5)$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = \frac{2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (5))}{\ln (5)}$

Paso 4.2.4.2

Divide $2 (\frac{x}{2})$ por $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} \cdot 5^{\frac{x}{2}} = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}}{2}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 \ln (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 (\ln (x))}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Paso 4.3.5

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Paso 4.3.6

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$ es la inversa de $f (x) = 5^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 \ln (x)}{\ln (5)}$