Álgebra Ejemplos

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $n$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[n]{\frac{a}{b}}}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ como ${(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}}$ .

${({(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}})}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{a}{b}$ .

${(\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}})}^{n} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{a^{\frac{1}{n}}}{b^{\frac{1}{n}}}$ .

$\frac{{(a^{\frac{1}{n}})}^{n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(a^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.2.1.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.2.1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{1}}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.2.2

Simplifica.

$\frac{a}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica los exponentes en ${(b^{\frac{1}{n}})}^{n}$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.3.1.2

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.2.1.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{b^{1}} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.2.1.3.2

Simplifica.

$\frac{a}{b} = {(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}})}^{n}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{{\sqrt[n]{a}}^{n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe ${\sqrt[n]{a}}^{n}$ como $a$ .

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Paso 2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[n]{a}$ como $a^{\frac{1}{n}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{{(a^{\frac{1}{n}})}^{n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{1}{n} n}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{n}$ y $n$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{n}{n}}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2.4

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a}{b} = \frac{a^{\frac{n}{n}}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{b} = \frac{a^{1}}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.2.5

Simplifica.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{{\sqrt[n]{b}}^{n}}$

Paso 2.3.1.3

Reescribe ${\sqrt[n]{b}}^{n}$ como $b$ .

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Paso 2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[n]{b}$ como $b^{\frac{1}{n}}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{{(b^{\frac{1}{n}})}^{n}}$

Paso 2.3.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{1}{n} n}}$

Paso 2.3.1.3.3

Combina $\frac{1}{n}$ y $n$ .

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{n}{n}}}$

Paso 2.3.1.3.4

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 2.3.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{\frac{n}{n}}}$

Paso 2.3.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b^{1}}$

Paso 2.3.1.3.5

Simplifica.

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

Paso 3

Resuelve $n$

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Paso 3.1

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$a = a$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $a$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$a - a = 0$

Paso 3.2.2

Resta $a$ de $a$ .

$0 = 0$

Paso 3.3

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Siempre verdadero

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$