Álgebra Ejemplos

$f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2}) = x + 1$

Paso 1

Simplifica $f^{- 1} (\frac{3 + x}{x - 2})$ .

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Paso 1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{f} \cdot \frac{3 + x}{x - 2} = x + 1$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{1}{f}$ por $\frac{3 + x}{x - 2}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} = x + 1$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} - x = 1$

Paso 2.2

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{f (x - 2)}{f (x - 2)}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} - x \cdot \frac{f (x - 2)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.3

Combina $- x$ y $\frac{f (x - 2)}{f (x - 2)}$ .

$\frac{3 + x}{f (x - 2)} + \frac{- x (f (x - 2))}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + x - x (f (x - 2))}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x - x (f x + f \cdot - 2)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $f$ .

$\frac{3 + x - x (f x - 2 \cdot f)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + x - x (f x) - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 + x - (x \cdot x) f - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f - x (- 2 f)}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{3 + x - x^{2} f - 1 \cdot - 2 x f}{f (x - 2)} = 1$

Paso 2.5.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$

Paso 3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$f (x - 2), 1$

Paso 3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$f (x - 2)$

Paso 4

Multiplica cada término en $\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$ por $f (x - 2)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.1

Multiplica cada término en $\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} = 1$ por $f (x - 2)$ .

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = 1 (f (x - 2))$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $f (x - 2)$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + x - x^{2} f + 2 x f}{f (x - 2)} (f (x - 2)) = 1 (f (x - 2))$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = 1 (f (x - 2))$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Multiplica $f (x - 2)$ por $1$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f (x - 2)$

Paso 4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f x + f \cdot - 2$

Paso 4.3.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $f$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 x f = f x - 2 f$

Paso 5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $f x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 + x - x^{2} f + 2 x f - f x = - 2 f$

Paso 5.1.2

Resta $f x$ de $2 x f$ .

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Paso 5.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 + x - x^{2} f + 2 f x - f x = - 2 f$

Paso 5.1.2.2

Resta $f x$ de $2 f x$ .

$3 + x - x^{2} f + 1 f x = - 2 f$

Paso 5.1.3

Multiplica $f$ por $1$ .

$3 + x - x^{2} f + f x = - 2 f$

Paso 5.2

Suma $2 f$ a ambos lados de la ecuación.

$3 + x - x^{2} f + f x + 2 f = 0$

Paso 5.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5.4

Sustituye los valores $a = - f$ , $b = 1 + f$ y $c = 3 + 2 f$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (1 + f) \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- f \cdot (3 + 2 f))}}{2 (- f)}$

Paso 5.5

Simplifica.

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Paso 5.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - f \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{{(1 + f)}^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.3

Reescribe ${(1 + f)}^{2}$ como $(1 + f) (1 + f)$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{(1 + f) (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.4

Expande $(1 + f) (1 + f)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 (1 + f) + f (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 f + f (1 + f) - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 \cdot 1 + 1 f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 1 f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.5.1.2

Multiplica $f$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f \cdot 1 + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.5.1.3

Multiplica $f$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f + f \cdot f - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.5.1.4

Multiplica $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f + f + f^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.5.2

Suma $f$ y $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} - 4 \cdot (- 1 f) \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 4 f \cdot (3 + 2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 4 f \cdot 3 + 4 f (2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.8

Multiplica $3$ por $4$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 f (2 f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 f \cdot f)}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.1.10.1

Multiplica $f$ por $f$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.1.10.1.1

Mueve $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 (f \cdot f))}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.10.1.2

Multiplica $f$ por $f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 4 \cdot (2 f^{2})}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.10.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 2 f + f^{2} + 12 f + 8 f^{2}}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.11

Suma $2 f$ y $12 f$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + f^{2} + 14 f + 8 f^{2}}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.12

Suma $f^{2}$ y $8 f^{2}$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{1 + 9 f^{2} + 14 f}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.1.13

Reordena los términos.

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 (- f)}$

Paso 5.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{- 2 f}$

Paso 5.5.3

Simplifica $\frac{- 1 - f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{- 2 f}$ .

$x = \frac{1 + f \pm \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

Paso 5.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + f + \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f - \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f + \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$

$x = \frac{1 + f - \sqrt{9 f^{2} + 14 f + 1}}{2 f}$