Álgebra Ejemplos

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ .

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

Paso 2

Divide cada término en $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ por $- 0.5$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ por $- 0.5$ .

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 0.5$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.2.1.2

Divide $| x - 4 |$ por $1$ .

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.3

Factoriza $0.5$ de $0.5$ .

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.4

Separa las fracciones.

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.5

Divide $2$ por $0.5$ .

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.6

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.9

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.10

Factoriza $0.5$ de $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.11

Separa las fracciones.

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.12

Divide $2$ por $0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.13

Divide $x$ por $1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.14

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

Paso 2.3.1.15

Divide $- 3$ por $- 0.5$ .

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Paso 3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Paso 4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

Paso 4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

Paso 4.3

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Paso 4.4

Simplifica $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe.

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Paso 4.4.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

Paso 4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Paso 4.4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

Paso 4.4.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

Paso 4.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

Paso 4.5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

Paso 4.5.2

Resta $x$ de $4 x$ .

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

Paso 4.6

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

Paso 4.7

Suma $- 6$ y $4$ .

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Paso 4.8

Factoriza $4 x^{3} + 3 x - 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 4.8.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Paso 4.8.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

Paso 4.8.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.8.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

Paso 4.8.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Paso 4.8.3.3

Multiplica $4$ por $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

Paso 4.8.3.4

Multiplica $3$ por $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

Paso 4.8.3.5

Suma $0.5$ y $1.5$ .

$2 - 2$

Paso 4.8.3.6

Resta $2$ de $2$ .

$0$

Paso 4.8.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

Paso 4.8.5

Divide $4 x^{3} + 3 x - 2$ por $2 x - 1$ .

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Paso 4.8.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Paso 4.8.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

Paso 4.8.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Paso 4.8.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Paso 4.8.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Paso 4.8.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 4.8.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 4.8.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

Paso 4.8.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Paso 4.8.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

Paso 4.8.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Paso 4.8.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

Paso 4.8.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

Paso 4.8.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x - 2$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

Paso 4.8.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

Paso 4.8.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$2 x^{2} + x + 2$

Paso 4.8.6

Escribe $4 x^{3} + 3 x - 2$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

Paso 4.9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Paso 4.10

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.10.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 4.10.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.10.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 4.10.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 4.10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 4.11

Establece $2 x^{2} + x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.11.1

Establece $2 x^{2} + x + 2$ igual a $0$ .

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

Paso 4.11.2

Resuelve $2 x^{2} + x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.11.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.11.2.2

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 1$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3

Simplifica.

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Paso 4.11.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 4.11.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.2.2

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.3

Resta $16$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.4

Reescribe $- 15$ como $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (15)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Paso 4.11.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Paso 4.11.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Paso 4.12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$