Álgebra Ejemplos

${(x + y)}^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$ .

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$

Paso 2

Simplifica ${(x + y)}^{7}$ .

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Paso 2.1

Reescribe.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = 0 + 0 + {(x + y)}^{7}$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = {(x + y)}^{7}$

Paso 2.3

Usa el teorema del binomio.

$x^{7} + 7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $x^{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x^{6} y + a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7}$

Paso 3.2

Resta $7 x^{6} y$ de ambos lados de la ecuación.

$a x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y$

Paso 3.3

Resta $a x^{5} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$35 x^{4} y^{b} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2}$

Paso 3.4

Resta $35 x^{3} y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$35 x^{4} y^{b} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4}$

Paso 3.5

Resta $21 x^{2} y^{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$35 x^{4} y^{b} + 7 x y^{6} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5}$

Paso 3.6

Resta $7 x y^{6}$ de ambos lados de la ecuación.

$35 x^{4} y^{b} + y^{7} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6}$

Paso 3.7

Resta $y^{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$35 x^{4} y^{b} = x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8

Combina los términos opuestos en $x^{7} + 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - x^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$ .

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Paso 3.8.1

Resta $x^{7}$ de $x^{7}$ .

$35 x^{4} y^{b} = 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} + 0 - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.2

Suma $7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 7 x^{6} y + 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - 7 x^{6} y - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.3

Resta $7 x^{6} y$ de $7 x^{6} y$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} + 0 - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.4

Suma $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2} - 35 x^{3} y^{4} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.5

Resta $35 x^{3} y^{4}$ de $35 x^{3} y^{4}$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2} + 0 - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.6

Suma $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 21 x^{2} y^{5} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2} - 21 x^{2} y^{5} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.7

Resta $21 x^{2} y^{5}$ de $21 x^{2} y^{5}$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2} + 0 - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.8

Suma $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + 7 x y^{6} + y^{7} - a x^{5} y^{2} - 7 x y^{6} - y^{7}$

Paso 3.8.9

Resta $7 x y^{6}$ de $7 x y^{6}$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - a x^{5} y^{2} + 0 - y^{7}$

Paso 3.8.10

Suma $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - a x^{5} y^{2}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} + y^{7} - a x^{5} y^{2} - y^{7}$

Paso 3.8.11

Resta $y^{7}$ de $y^{7}$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - a x^{5} y^{2} + 0$

Paso 3.8.12

Suma $21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - a x^{5} y^{2}$ y $0$ .

$35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - a x^{5} y^{2}$

Paso 4

Divide cada término en $35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - a x^{5} y^{2}$ por $35 x^{4}$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $35 x^{4} y^{b} = 21 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} y^{3} - a x^{5} y^{2}$ por $35 x^{4}$ .

$\frac{35 x^{4} y^{b}}{35 x^{4}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $35$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{35 x^{4} y^{b}}{35 x^{4}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{4} y^{b}}{x^{4}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{4} y^{b}}{x^{4}} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.2.2.2

Divide $y^{b}$ por $1$ .

$y^{b} = \frac{21 x^{5} y^{2}}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común de $21$ y $35$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Factoriza $7$ de $21 x^{5} y^{2}$ .

$y^{b} = \frac{7 (3 x^{5} y^{2})}{35 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.1.2.1

Factoriza $7$ de $35 x^{4}$ .

$y^{b} = \frac{7 (3 x^{5} y^{2})}{7 (5 x^{4})} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{b} = \frac{7 (3 x^{5} y^{2})}{7 (5 x^{4})} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{b} = \frac{3 x^{5} y^{2}}{5 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{4}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $3 x^{5} y^{2}$ .

$y^{b} = \frac{x^{4} (3 x y^{2})}{5 x^{4}} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.2.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $5 x^{4}$ .

$y^{b} = \frac{x^{4} (3 x y^{2})}{x^{4} \cdot 5} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y^{b} = \frac{x^{4} (3 x y^{2})}{x^{4} \cdot 5} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.3

Cancela el factor común de $35$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + \frac{35 x^{4} y^{3}}{35 x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + \frac{x^{4} y^{3}}{x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + \frac{x^{4} y^{3}}{x^{4}} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.4.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} + \frac{- a x^{5} y^{2}}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.5

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{4}$ .

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Paso 4.3.1.5.1

Factoriza $x^{4}$ de $- a x^{5} y^{2}$ .

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} + \frac{x^{4} (- a x y^{2})}{35 x^{4}}$

Paso 4.3.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.5.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $35 x^{4}$ .

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} + \frac{x^{4} (- a x y^{2})}{x^{4} \cdot 35}$

Paso 4.3.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} + \frac{x^{4} (- a x y^{2})}{x^{4} \cdot 35}$

Paso 4.3.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} + \frac{- a x y^{2}}{35}$

Paso 4.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{b} = \frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35}$

Paso 5

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (y^{b}) = \ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})$

Paso 6

Expande $\ln (y^{b})$ ; para ello, mueve $b$ fuera del logaritmo.

$b \ln (y) = \ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})$

Paso 7

Divide cada término en $b \ln (y) = \ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})$ por $\ln (y)$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $b \ln (y) = \ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})$ por $\ln (y)$ .

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{\ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})}{\ln (y)}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{b \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{\ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})}{\ln (y)}$

Paso 7.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{\ln (\frac{3 x y^{2}}{5} + y^{3} - \frac{a x y^{2}}{35})}{\ln (y)}$