Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 3

Cancela el factor común de ${(x + 1)}^{2}$ y $x + 1$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) \cdot 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 3.2.4

Divide $x + 1$ por $1$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$(x + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Paso 5.2

Divide $x + 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x + 1)$

Paso 6

Expande $(x + 1) (x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7.1.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Paso 7.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} + x + x + 1$

Paso 7.2

Suma $x$ y $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1$