Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{5}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x} + 6$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\sqrt{x}$ .

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $\sqrt{x}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{\sqrt{x}} \sqrt{x} = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 = (\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(\frac{1}{x} + 6) \sqrt{x}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 = \frac{1}{x} \sqrt{x} + 6 \sqrt{x}$

Paso 3.2.1.2

Combina $\frac{1}{x}$ y $\sqrt{x}$ .

$5 = \frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x}$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$

Paso 4.2

Resuelve $\sqrt{x}$

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Paso 4.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, 1$

Paso 4.2.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 4.2.2

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\sqrt{x}}{x} + 6 \sqrt{x} = 5$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x}}{x} x + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Paso 4.2.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Paso 4.2.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.2.3.1

Factoriza $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $\sqrt{x}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{x} + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Paso 4.2.3.1.2

Factoriza $\sqrt{x}$ de ${\sqrt{x}}^{1}$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + 6 \sqrt{x} x = 5 x$

Paso 4.2.3.1.3

Factoriza $\sqrt{x}$ de $6 \sqrt{x} x$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x) = 5 x$

Paso 4.2.3.1.4

Factoriza $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} (6 x)$ .

$\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$

Paso 4.2.3.2

Divide cada término en $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ por $1 + 6 x$ y simplifica.

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Paso 4.2.3.2.1

Divide cada término en $\sqrt{x} (1 + 6 x) = 5 x$ por $1 + 6 x$ .

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Paso 4.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $1 + 6 x$ .

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Paso 4.2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{x} (1 + 6 x)}{1 + 6 x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Paso 4.2.3.2.2.1.2

Divide $\sqrt{x}$ por $1$ .

$\sqrt{x} = \frac{5 x}{1 + 6 x}$

Paso 4.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4.2.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$

Paso 4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.3.1

Simplifica ${(\frac{5 x}{1 + 6 x})}^{2}$ .

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Paso 4.4.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.4.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5 x}{1 + 6 x}$ .

$x = \frac{{(5 x)}^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Paso 4.4.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $5 x$ .

$x = \frac{5^{2} x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Paso 4.4.3.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$

Paso 4.5

Resuelve $x$

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Paso 4.5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, {(1 + 6 x)}^{2}$

Paso 4.5.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

${(1 + 6 x)}^{2}$

Paso 4.5.2

Multiplica cada término en $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ por ${(1 + 6 x)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.5.2.1

Multiplica cada término en $x = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}}$ por ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Paso 4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de ${(1 + 6 x)}^{2}$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = \frac{25 x^{2}}{{(1 + 6 x)}^{2}} {(1 + 6 x)}^{2}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x {(1 + 6 x)}^{2} = 25 x^{2}$

Paso 4.5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.5.3.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.3.1.1

Resta $25 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$x {(1 + 6 x)}^{2} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1.2.1

Reescribe ${(1 + 6 x)}^{2}$ como $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ .

$x ((1 + 6 x) (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.2

Expande $(1 + 6 x) (1 + 6 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.5.3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (1 (1 + 6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x (1 + 6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (1 \cdot 1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.5.3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1.2.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$x (1 + 1 (6 x) + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.2

Multiplica $6 x$ por $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x \cdot 1 + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 x (6 x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x \cdot x) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.1.2.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 (x \cdot x)) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 6 \cdot 6 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.1.6

Multiplica $6$ por $6$ .

$x (1 + 6 x + 6 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$x (1 + 12 x + 36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot 1 + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.5

Simplifica.

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Paso 4.5.3.1.2.5.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + x (12 x) + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x + 12 x \cdot x + x (36 x^{2}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x + 12 x \cdot x + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.3.1.2.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.1.2.6.1.1

Mueve $x$ .

$x + 12 (x \cdot x) + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x \cdot x^{2} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.5.3.1.2.6.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.5.3.1.2.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 (x^{2} x^{1}) - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x + 12 x^{2} + 36 x^{2 + 1} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.2.6.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$x + 12 x^{2} + 36 x^{3} - 25 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.1.3

Resta $25 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.5.3.2.1

Factoriza $x$ de $x + 36 x^{3} - 13 x^{2}$ .

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Paso 4.5.3.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 + 36 x^{3} - 13 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.2.1.3

Factoriza $x$ de $36 x^{3}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) - 13 x^{2} = 0$

Paso 4.5.3.2.1.4

Factoriza $x$ de $- 13 x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Paso 4.5.3.2.1.5

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (36 x^{2})$ .

$x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x) = 0$

Paso 4.5.3.2.1.6

Factoriza $x$ de $x \cdot (1 + 36 x^{2}) + x (- 13 x)$ .

$x (1 + 36 x^{2} - 13 x) = 0$

Paso 4.5.3.2.2

Factoriza.

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Paso 4.5.3.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.3.2.2.1.1

Reordena los términos.

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 36 \cdot 1 = 36$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 4.5.3.2.2.1.2.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 x$ .

$x (36 x^{2} - 13 x + 1) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.2.2

Reescribe $- 13$ como $- 4$ más $- 9$

$x (36 x^{2} + (- 4 - 9) x + 1) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (36 x^{2} - 4 x - 9 x + 1) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.3.2.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x ((36 x^{2} - 4 x) - 9 x + 1) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (4 x (9 x - 1) - (9 x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 x - 1$ .

$x ((9 x - 1) (4 x - 1)) = 0$

Paso 4.5.3.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$

Paso 4.5.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

Paso 4.5.3.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.5.3.5

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.3.5.1

Establece $9 x - 1$ igual a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Paso 4.5.3.5.2

Resuelve $9 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.3.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x = 1$

Paso 4.5.3.5.2.2

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ y simplifica.

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Paso 4.5.3.5.2.2.1

Divide cada término en $9 x = 1$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.5.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.5.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Paso 4.5.3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Paso 4.5.3.6

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.3.6.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 4.5.3.6.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.5.3.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 4.5.3.6.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.5.3.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.5.3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.5.3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 4.5.3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 4.5.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (9 x - 1) (4 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{1}{x} + 6 = \frac{5}{\sqrt{x}}$ sea verdadera.

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{1}{9}, \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$x = 0.\overline{1}, 0.25$