Álgebra Ejemplos

$4 (\cos (\frac{9 π}{4}) + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{9 π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1.3

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (\frac{π}{4})) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4 \frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 2

Combina $4$ y $\frac{\sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Reduce la expresión $\frac{4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1.1

Factoriza $2$ de $4 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 3.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 (1)} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 3.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}))}{2 \cdot 1} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 3.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{1} \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 3.2

Divide $2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})$ por $1$ .

$2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2}) \div 2 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 4

Reescribe la división como una fracción.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (\sqrt{2} + i \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 5.2

Divide $\sqrt{2} + i \sqrt{2}$ por $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 6.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Paso 6.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 + i \cdot - 1)$

Paso 6.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $i$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 - 1 \cdot i)$

Paso 6.7

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (0 - i)$

Paso 7

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 7.1

Resta $i$ de $0$ .

$(\sqrt{2} + i \sqrt{2}) (- i)$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{2} (- i) + i \sqrt{2} (- i)$

Paso 8

Multiplica $i \sqrt{2} (- i)$ .

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Paso 8.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- (i^{1} i))$

Paso 8.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- (i^{1} i^{1}))$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- i^{1 + 1})$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- i^{2})$

Paso 9

Simplifica cada término.

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Paso 9.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} (- - 1)$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2} \cdot 1$

Paso 9.3

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} (- i) + \sqrt{2}$

Paso 10

Reordena $\sqrt{2} (- i)$ y $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- i)$