Álgebra Ejemplos

$y = e^{8 - x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{8 - y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{8 - y} = x$ .

$e^{8 - y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{8 - y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{8 - y})$ ; para ello, mueve $8 - y$ fuera del logaritmo.

$(8 - y) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(8 - y) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $8 - y$ por $1$ .

$8 - y = \ln (x)$

Paso 2.4

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = \ln (x) - 8$

Paso 2.5

Divide cada término en $- y = \ln (x) - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $- y = \ln (x) - 8$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot \ln (x)$ como $- \ln (x)$ .

$y = - \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Paso 2.5.3.1.3

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$y = - \ln (x) + 8$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ es la inversa de $f (x) = e^{8 - x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{8 - x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - \ln (e^{8 - x}) + 8$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $8 - x$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \ln (e)) + 8$

Paso 4.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \cdot 1) + 8$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $8 - x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Paso 4.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Paso 4.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Paso 4.2.3.6

Multiplica $- - x$ .

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Paso 4.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Paso 4.2.3.6.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $- 8 + x + 8$ .

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Paso 4.2.4.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \ln (x) + 8)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 - (- \ln (x) + 8)}$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $- - \ln (x)$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + 1 \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Paso 4.3.3.2.2

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Paso 4.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 8}$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $8 + \ln (x) - 8$ .

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Paso 4.3.4.1

Resta $8$ de $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{0 + \ln (x)}$

Paso 4.3.4.2

Suma $0$ y $\ln (x)$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{\ln (x)}$

Paso 4.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \ln (x) + 8) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ es la inversa de $f (x) = e^{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$