Álgebra Ejemplos

$\sqrt[4]{81 {(x^{4} - 16)}^{4}}$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 16)}^{4}}$

Paso 2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{4}}$

Paso 3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{4}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{4}}$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Paso 5

Aplica la regla del producto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt[4]{81 {((x^{2} + 4) (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 6

Expande $(x^{2} + 4) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 7.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 7.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 7.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt[4]{81 {(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\sqrt[4]{81 {((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\sqrt[4]{81 {(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 9

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$\sqrt[4]{81 {((x + 2) (x^{2} + 4))}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 10

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$\sqrt[4]{81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Paso 11

Reescribe $81 {(x + 2)}^{4} {(x^{2} + 4)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ como ${(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}$ .

$\sqrt[4]{{(3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2))}^{4}}$

Paso 12

Retira los términos de abajo del radical.

$| 3 (x + 2) (x^{2} + 4) (x - 2) |$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$| (3 x + 3 \cdot 2) (x^{2} + 4) (x - 2) |$

Paso 14

Multiplica $3$ por $2$ .

$| (3 x + 6) (x^{2} + 4) (x - 2) |$

Paso 15

Expande $(3 x + 6) (x^{2} + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| (3 x (x^{2} + 4) + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2) |$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$| (3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 (x^{2} + 4)) (x - 2) |$

Paso 15.3

Aplica la propiedad distributiva.

$| (3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16

Simplifica cada término.

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Paso 16.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 16.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$| (3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 16.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$| (3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| (3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$| (3 x^{3} + 3 x \cdot 4 + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$| (3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 6 \cdot 4) (x - 2) |$

Paso 16.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$| (3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2) |$

Paso 17

Expande $(3 x^{3} + 12 x + 6 x^{2} + 24) (x - 2)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$| 3 x^{3} x + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18

Simplifica cada término.

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Paso 18.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 18.1.1

Mueve $x$ .

$| 3 (x \cdot x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.1.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 18.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$| 3 (x^{1} x^{3}) + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 3 x^{1 + 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.1.3

Suma $1$ y $3$ .

$| 3 x^{4} + 3 x^{3} \cdot - 2 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x \cdot x + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 18.3.1

Mueve $x$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.4

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{2} x + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 18.5.1

Mueve $x$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 18.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{1 + 2} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} + 6 x^{2} \cdot - 2 + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.6

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x + 24 \cdot - 2 |$

Paso 18.7

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$| 3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48 |$

Paso 19

Combina los términos opuestos en $3 x^{4} - 6 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 24 x - 48$ .

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Paso 19.1

Suma $- 6 x^{3}$ y $6 x^{3}$ .

$| 3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x + 0 - 12 x^{2} + 24 x - 48 |$

Paso 19.2

Suma $3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x$ y $0$ .

$| 3 x^{4} + 12 x^{2} - 24 x - 12 x^{2} + 24 x - 48 |$

Paso 19.3

Resta $12 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$| 3 x^{4} - 24 x + 0 + 24 x - 48 |$

Paso 19.4

Suma $3 x^{4} - 24 x$ y $0$ .

$| 3 x^{4} - 24 x + 24 x - 48 |$

Paso 19.5

Suma $- 24 x$ y $24 x$ .

$| 3 x^{4} + 0 - 48 |$

Paso 19.6

Suma $3 x^{4}$ y $0$ .

$| 3 x^{4} - 48 |$