Álgebra Ejemplos

$\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x + 2}) = \ln (8 x)$

Paso 2

Para que la ecuación sea igual, el argumento de los logaritmos en ambos lados de la ecuación debe ser igual.

$\frac{x}{x + 2} = 8 x$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 2, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$x + 2, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + 2$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ por $x + 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ por $x + 2$ .

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 8 x (x + 2)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.3.2.1

Mueve $x$ .

$x = 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2$

Paso 3.2.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x = 8 x^{2} + 8 x \cdot 2$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$x = 8 x^{2} + 16 x$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$8 x^{2} + 16 x = x$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x^{2} + 16 x - x = 0$

Paso 3.3.2.2

Resta $x$ de $16 x$ .

$8 x^{2} + 15 x = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $x$ de $8 x^{2} + 15 x$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x$ de $8 x^{2}$ .

$x (8 x) + 15 x = 0$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $x$ de $15 x$ .

$x (8 x) + x \cdot 15 = 0$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $x$ de $x (8 x) + x \cdot 15$ .

$x (8 x + 15) = 0$

Paso 3.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$8 x + 15 = 0$

Paso 3.3.5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.6

Establece $8 x + 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.6.1

Establece $8 x + 15$ igual a $0$ .

$8 x + 15 = 0$

Paso 3.3.6.2

Resuelve $8 x + 15 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.6.2.1

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$8 x = - 15$

Paso 3.3.6.2.2

Divide cada término en $8 x = - 15$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.3.6.2.2.1

Divide cada término en $8 x = - 15$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Paso 3.3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Paso 3.3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 15}{8}$

Paso 3.3.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.6.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{15}{8}$

Paso 3.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (8 x + 15) = 0$ verdadera.

$x = 0, - \frac{15}{8}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$ sea verdadera.

$No hay solución$