Álgebra Ejemplos

$\frac{108 a^{3} - 4}{36 a^{2} - 24 a + 4}$

Paso 1

Cancela el factor común de $108 a^{3} - 4$ y $36 a^{2} - 24 a + 4$ .

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $108 a^{3}$ .

$\frac{4 (27 a^{3}) - 4}{36 a^{2} - 24 a + 4}$

Paso 1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{4 (27 a^{3}) + 4 \cdot - 1}{36 a^{2} - 24 a + 4}$

Paso 1.3

Factoriza $4$ de $4 (27 a^{3}) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{36 a^{2} - 24 a + 4}$

Paso 1.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1

Factoriza $4$ de $36 a^{2}$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2}) - 24 a + 4}$

Paso 1.4.2

Factoriza $4$ de $- 24 a$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2}) + 4 (- 6 a) + 4}$

Paso 1.4.3

Factoriza $4$ de $4 (9 a^{2}) + 4 (- 6 a)$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2} - 6 a) + 4}$

Paso 1.4.4

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2} - 6 a) + 4 (1)}$

Paso 1.4.5

Factoriza $4$ de $4 (9 a^{2} - 6 a) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2} - 6 a + 1)}$

Paso 1.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{4 (27 a^{3} - 1)}{4 (9 a^{2} - 6 a + 1)}$

Paso 1.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{27 a^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $27 a^{3}$ como ${(3 a)}^{3}$ .

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(3 a)}^{3} - 1^{3}}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 3 a$ y $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) ({(3 a)}^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la regla del producto a $3 a$ .

$\frac{(3 a - 1) (3^{2} a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.4.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a \cdot 1 + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1^{2})}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 2.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{9 a^{2} - 6 a + 1}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $9 a^{2}$ como ${(3 a)}^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1}$

Paso 3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 6 a + 1^{2}}$

Paso 3.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 a = 2 \cdot (3 a) \cdot 1$

Paso 3.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a)}^{2} - 2 \cdot (3 a) \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 3.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 3 a$ y $b = 1$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{{(3 a - 1)}^{2}}$

Paso 4

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1

Factoriza $3 a - 1$ de ${(3 a - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Paso 4.2

Cancela el factor común.

$\frac{(3 a - 1) (9 a^{2} + 3 a + 1)}{(3 a - 1) (3 a - 1)}$

Paso 4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 a^{2} + 3 a + 1}{3 a - 1}$