Álgebra Ejemplos

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \div \frac{2 m + 5 n}{m^{2} - 2 m + 4}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 m^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4 m^{2}$ como ${(2 m)}^{2}$ .

$\frac{{(2 m)}^{2} - 25 n^{2}}{m^{3} + 8} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 2.2

Reescribe $25 n^{2}$ como ${(5 n)}^{2}$ .

$\frac{{(2 m)}^{2} - {(5 n)}^{2}}{m^{3} + 8} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 m$ y $b = 5 n$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - (5 n))}{m^{3} + 8} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 2.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{m^{3} + 8} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{m^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = m$ y $b = 2$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{(m + 2) (m^{2} - m \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 2^{2})} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2 m + 5 n$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 m + 5 n) (2 m - 5 n)}{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)} \cdot \frac{m^{2} - 2 m + 4}{2 m + 5 n}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 m - 5 n}{(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)} (m^{2} - 2 m + 4)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $m^{2} - 2 m + 4$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $m^{2} - 2 m + 4$ de $(m + 2) (m^{2} - 2 m + 4)$ .

$\frac{2 m - 5 n}{(m^{2} - 2 m + 4) (m + 2)} (m^{2} - 2 m + 4)$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 m - 5 n}{(m^{2} - 2 m + 4) (m + 2)} (m^{2} - 2 m + 4)$

Paso 4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 m - 5 n}{m + 2}$