Álgebra Ejemplos

$y = 4^{\frac{x}{2}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = 4^{\frac{y}{2}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $4^{\frac{y}{2}} = x$ .

$4^{\frac{y}{2}} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (4^{\frac{y}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{y}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{y}{2} \ln (4) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

Combina $\frac{y}{2}$ y $\ln (4)$ .

$\frac{y \ln (4)}{2} = \ln (x)$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{\ln (4)}$ .

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Simplifica $\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2}$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{\ln (4)} \cdot \frac{y \ln (4)}{2} = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\ln (4)} (y \ln (4)) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2

Cancela el factor común de $\ln (4)$ .

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Paso 2.5.1.1.2.1

Factoriza $\ln (4)$ de $y \ln (4)$ .

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\ln (4)} (\ln (4) y) = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $\frac{2}{\ln (4)} \ln (x)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$y = \frac{2}{\ln (2^{2})} \ln (x)$

Paso 2.5.2.1.2

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Paso 2.5.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{2 \ln (2)} \ln (x)$

Paso 2.5.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{\ln (2)} \ln (x)$

Paso 2.5.2.1.4

Combina $\frac{1}{\ln (2)}$ y $\ln (x)$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}}$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 4^{\frac{x}{2}} = \frac{\ln (4^{\frac{x}{2}})}{\ln (2)}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}{2}}$

Paso 4.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{\ln (x)}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $\frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2) \cdot 2}}$

Paso 4.3.4.2

Reordena $\ln (2)$ y $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{2 \cdot \ln (2)}}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica $2 \cdot \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Paso 4.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Paso 4.3.6

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 4^{\log_{4} (x)}$

Paso 4.3.7

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = 4^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$