Álgebra Ejemplos

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \div \frac{3 + x}{4 x + 2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 3 x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.2.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + x \cdot 3}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 3$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 1.3.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.3.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Paso 1.4

Factoriza $2$ de $4 x + 2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2}{3 + x}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{3 + x}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (1)$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x + 1)}{3 + x}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2 x + 1$ de $2 (2 x + 1)$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2}{3 + x}$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{x (x + 3)}{2 x - 1}$ por $\frac{2}{3 + x}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (3 + x)}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x + 3$ y $3 + x$ .

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Paso 1.7.1

Reordena los términos.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Paso 1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Paso 1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot 2}{2 x - 1}$

Paso 1.8

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Paso 2

Para escribir $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Paso 3

Para escribir $\frac{2 x}{2 x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 x + 1) (2 x - 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{2 x}{2 x - 1}$ por $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(1 - 2 x) (2 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x - 1) - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.2.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.7

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$\frac{- 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.8

Suma $- 4 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$\frac{- 1 + 0 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 6.9

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{- 1 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 7.2

Factoriza $- 1$ de $6 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (- 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- 6 x)$ .

$\frac{- 1 (1 - 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 - 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$