Álgebra Ejemplos

$(\frac{1}{(x - 1)} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \div \frac{x^{2} - 5 x + 4}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} - 5 x + 4}$

Paso 2

Factoriza $x^{2} - 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $- 5$ .

$- 4, - 1$

Paso 2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 3.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(\frac{1}{x - 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 4

Para escribir $\frac{1}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$(\frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(\frac{x^{2} + x + 1 - 3 x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 5.3

Resta $3 x$ de $x$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 6.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 6.1.3

Reescribe el polinomio.

$(\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(\frac{{(x - 1)}^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de ${(x - 1)}^{2}$ y $x - 1$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x - 1)}^{2}$ .

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$(\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$(\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{3}{x^{2} + x + 1}) \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 1 - 3}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 7.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 7.3

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x - 4}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 4) (x - 1)}$

Paso 7.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x - 1}$