Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 5^{2}}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 5$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^{2} + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.2

Factoriza $a$ de $a^{2} + 5 a$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a \cdot a + 5 a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.2.2

Factoriza $a$ de $5 a$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a \cdot a + a \cdot 5} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.2.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot 5$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a (a + 5)} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $a + 5$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $a + 5$ de $a (a + 5)$ .

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{(a + 5) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 5) (a - 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{(a + 5) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{a - 5}{a + 3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.4

Multiplica $\frac{a - 5}{a + 3}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a^{2} - 3 a}$

Paso 1.5

Factoriza $a$ de $a^{2} - 3 a$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $a$ de $a^{2}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a \cdot a - 3 a}$

Paso 1.5.2

Factoriza $a$ de $- 3 a$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a \cdot a + a \cdot - 3}$

Paso 1.5.3

Factoriza $a$ de $a \cdot a + a \cdot - 3$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} - \frac{a + 5}{a (a - 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{a - 5}{(a + 3) a}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{a + 5}{a (a - 3)}$

Paso 3

Para escribir $- \frac{a + 5}{a (a - 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{a - 5}{(a + 3) a} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{a + 5}{a (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a + 3) a (a - 3)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{a - 5}{(a + 3) a}$ por $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) a (a - 3)} - \frac{a + 5}{a (a - 3)} \cdot \frac{a + 3}{a + 3}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{a + 5}{a (a - 3)}$ por $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{(a + 3) a (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a - 3) (a + 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a + 3) a (a - 3)$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{a (a + 3) (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a - 3) (a + 3)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $a (a - 3) (a + 3)$ .

$\frac{(a - 5) (a - 3)}{a (a + 3) (a - 3)} - \frac{(a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(a - 5) (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Expande $(a - 5) (a - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a (a - 3) - 5 (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 5 (a - 3) - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a \cdot a + a \cdot - 3 - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot - 3 - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $a$ .

$\frac{a^{2} - 3 \cdot a - 5 a - 5 \cdot - 3 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{a^{2} - 3 a - 5 a + 15 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.2.2

Resta $5 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - (a + 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 + (- a - 1 \cdot 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.4

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 + (- a - 5) (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.5

Expande $(- a - 5) (a + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a (a + 3) - 5 (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a \cdot a - a \cdot 3 - 5 (a + 3)}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a \cdot a - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.6.1.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - (a \cdot a) - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6.1.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - a \cdot 3 - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 3 a - 5 a - 5 \cdot 3}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6.1.3

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 3 a - 5 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.6.2

Resta $5 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{a^{2} - 8 a + 15 - a^{2} - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.7

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{- 8 a + 15 + 0 - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.8

Suma $- 8 a$ y $0$ .

$\frac{- 8 a + 15 - 8 a - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.9

Resta $8 a$ de $- 8 a$ .

$\frac{- 16 a + 15 - 15}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.10

Resta $15$ de $15$ .

$\frac{- 16 a + 0}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 6.11

Suma $- 16 a$ y $0$ .

$\frac{- 16 a}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $a$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 16 a}{a (a + 3) (a - 3)}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 16}{(a + 3) (a - 3)}$

Paso 7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{16}{(a + 3) (a - 3)}$