Álgebra Ejemplos

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{{(i - \sqrt{3})}^{2}}$

Paso 1

Reescribe ${(i - \sqrt{3})}^{2}$ como $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})}$

Paso 2

Expande $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (i - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $i i$ .

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Paso 3.1.1.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i^{1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1 + 1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{2} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3.1.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.1.3.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.1.4

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{1}}$

Paso 3.1.4.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3}$

Paso 3.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 2}$

Paso 3.3

Reordena los factores de $- \sqrt{3} i$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - i \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.4

Resta $i \sqrt{3}$ de $i (- \sqrt{3})$ .

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Paso 3.4.1

Reordena $i$ y $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 \cdot i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 2}$

Paso 3.4.2

Resta $i \sqrt{3}$ de $- 1 \cdot i \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 2 i \sqrt{3} + 2}$

Paso 4

Reordena $- 2 i \sqrt{3}$ y $2$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Multiplica $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ por $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{(2 - 2 i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}$

Paso 6.2

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{4 + 4 (i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} - 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 6.3

Simplifica.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{16}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $2 + 2 i \sqrt{3}$ y $16$ .

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Paso 6.4.1

Factoriza $2$ de $(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})$ .

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{16}$

Paso 6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 (8)}$

Paso 6.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 \cdot 8}$

Paso 6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 7

Expande $(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 8.1.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 8.1.3

Multiplica $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Paso 8.1.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Paso 8.1.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Paso 8.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Paso 8.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Paso 8.1.3.5

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{8}$

Paso 8.1.3.6

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{8}$

Paso 8.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

Paso 8.1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Paso 8.1.4

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Paso 8.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Paso 8.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Paso 8.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 8.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Paso 8.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}}{8}$

Paso 8.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{8}$

Paso 8.1.6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3}{8}$

Paso 8.2

Resta $3$ de $3$ .

$\frac{3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 0}{8}$

Paso 8.3

Suma $3 i \sqrt{3}$ y $i \sqrt{3}$ .

$\frac{4 i \sqrt{3} + 0}{8}$

Paso 8.4

Suma $4 i \sqrt{3}$ y $0$ .

$\frac{4 i \sqrt{3}}{8}$

Paso 9

Cancela el factor común de $4$ y $8$ .

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Paso 9.1

Factoriza $4$ de $4 i \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{8}$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Paso 9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$