Álgebra Ejemplos

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 8} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{x^{3} - 2^{3}} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 2

Para escribir $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 4}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(x^{2} + 2 x + 4) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} - \frac{6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x - 2) (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.2.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.2.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 6 x}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 5.3

Resta $6 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2}$

Paso 6

Para escribir $\frac{1}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + 2 x + 4}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)} + \frac{x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} - 10 x + 4 + x^{2} + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1

Suma $x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 4 + 2 x + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.2

Suma $- 10 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 4 + 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.3

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 8 x + 8$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 8 x + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.4.2

Factoriza $2$ de $- 8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 4 x) + 8}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.4.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.4.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.4.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} - 4 x) + 2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 4)}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 8.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 8.5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 8.5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 9

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 9.1

Factoriza $x - 2$ de $2 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (2 (x - 2))}{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} + 2 x + 4}$