Álgebra Ejemplos

$x^{7} + x^{4} + x^{3} + 1 = 0$

Paso 1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{7} + x^{4}) + x^{3} + 1 = 0$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{4} (x^{3} + 1) + 1 (x^{3} + 1) = 0$

Paso 1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Paso 1.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$(x^{3} + 1^{3}) (x^{4} + 1) = 0$

Paso 1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) (x^{4} + 1) = 0$

Paso 1.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{4} + 1 = 0$

Paso 3

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Establece $x^{4} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{4} + 1$ igual a $0$ .

$x^{4} + 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{4} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = - 1$

Paso 5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Paso 5.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Paso 5.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Paso 5.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Paso 6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x^{2} - x + 1) (x^{4} + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$